Działania na wielomianach

[Hołek]

Witam,

Dla jakich a i b wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +ax ^{3}+bx ^{2} -8x+1}\) jest kwadratem innego wielomianu ?

[AnimalHuman]

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest 1 oraz przy najniższej jest 1 to jest to kwadrat wielomianu:

\(\displaystyle{ (x^{2}+cx+1)^{2} = x^{4} + 2cx^{3} + (c^{2} + 2)x^{2} + 2cx + 1}\)

Z równości wielomianów wynika, że

\(\displaystyle{ a=2c}\)
\(\displaystyle{ b=c^{2} + 2}\)
\(\displaystyle{ 2c = -8}\)

czyli
\(\displaystyle{ c=-4}\)
\(\displaystyle{ a=-8}\)
\(\displaystyle{ b=18}\)

[Hołek]

w odpowiedziach są dwie wersje rozwiązania do tego zadania tzn.

a=-8, b=18 lub a=8, b=14

z czego to wynika ?

[AnimalHuman]

Przeoczyłem jedną sytuację, mianowicie po zwinięciu wielomian może mieć postać:

\(\displaystyle{ (x^{2} - cx +1)^{2}}\)

Po analogicznym rozwiązaniu dostaniesz drugi wynik.

[Hołek]

ale dlaczego ? skąd to się wzięło ?

[AnimalHuman]

Przy potędze drugiego stopnia masz \(\displaystyle{ c^{2}}\), czyli dla c ujemnego czy dodatniego \(\displaystyle{ c^{2}}\) tak czy siak jest dodatnie, ale inne współczynniki ulegają zmianie.