Działania na wielomianach

[Hołek]

Witam,

1. Jaki jest stopień wielomianu
\(\displaystyle{ (x+1)(x ^{2}+1)( x^{4} +1)....(x ^{2 ^{n} }+1)}\)
rozwiązanie to \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}-1}\) dlaczego ? mógłby ktos to wytłumaczyc

2. Wyznacz współczynniki przy \(\displaystyle{ x ^{10}}\) i \(\displaystyle{ x ^{9}}\) w wielomianie
\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)...(x-10)}\)
dlaczego w \(\displaystyle{ x ^{10}}\) współczynnik wynosi 1 a przy \(\displaystyle{ x ^{9} =55}\)?

Dziękuję

[math questions]

zad 1

a nie powinno byc przypadkiem \(\displaystyle{ 2 ^{n}-1}\)

zad 2

należy wymnożyć każdy x z nawiasu przez x z nastepnego nawiasu aż tak 10 razy wtedy otrzymamy \(\displaystyle{ x ^{10}}\) (który wystepuje tylko raz) a wspólczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{10}}\) wynosi 1

wymnażamy x z nawiasu przez x z nastepnego nawiasu az tak 9 raz a za dziesiątym mnozymy przez liczbę znajdująca sie w ostatnim nawiasie

tą kolejnośc powtarzamy 10 razy tylko za kazdym razem bierzemy liczbę z kolejnego nawiasu w wyniku otrzymamy:

\(\displaystyle{ x^{9},\ 2x^{9},\ 3x^{9},\ 4x^{9},\ 5x^{9},\ 6x^{9},\ 7x^{9},\ 8x^{9},\ 9x^{9},\ 10x^{9}}\)
sumujemy:
\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}\)

[Hołek]

a nie powinno byc przypadkiem \(\displaystyle{ 2 ^{n}-1}\)

co do tego zadania to jest to duże prawdopodobieństwo że jest to błąd gdyż takowych w tej książce jest o wiele więcej

przyjmijmy że jest to błąd ;P więc jak to obliczac ?

[math questions]

stopniem wielomianu nazywamy najwyzszy ze stopni jednomianów czyli:
wymnazamy każdy x z nawiasu przez x z nastepnego nawiasu w wyniku otrzymamy;

\(\displaystyle{ x \cdot x ^{2} \cdot x ^{4} \cdot ... \cdot x ^{2 ^{n} }=x ^{1+2+4+8+...+2 ^{n} }}\)

suma wykładników potęg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 2 i \(\displaystyle{ a _{1}=1}\)

\(\displaystyle{ S _{n} =a _{1} \cdot \frac{1-q ^{n} }{1-q}=1 \cdot \frac{1-2 ^{n} }{1-2}= \frac{1-2 ^{n} }{-1} =2 ^{n} -1}\)

a więć stopień wielomianu to \(\displaystyle{ 2 ^{n} -1}\)