Reszta wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
natalicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 275
Rejestracja: 29 lip 2009, o 12:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Reszta wielomianu

Post autor: natalicz »

Liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3-3x^2+ax+b=0}\) . Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x-2). podzielilam w(x) przez \(\displaystyle{ (x-1)^2}\) i wyszlo mi \(\displaystyle{ (7+a)x +b+3}\) to jest reszta i nie wiem co dalej

bede wdzieczna za pomoc
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Reszta wielomianu

Post autor: tometomek91 »

Skoro liczba 1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, to wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-1)^{2}}\) bez reszty. Stąd: \(\displaystyle{ 7+a=0}\) i \(\displaystyle{ b+3=0}\). Możemy wyliczyć również a i b rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\
W'(1)=0 \end{cases}}\)

"Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x-2)":
Korzystając z twierdzenia Bezout'a, liczymy W(2).
askas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 maja 2009, o 14:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 15 razy

Reszta wielomianu

Post autor: askas »

Drugie równanie w tym układzie to W od czego jest równe 0?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Reszta wielomianu

Post autor: tometomek91 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\ W'(1)=0 \end{cases}}\)
Jest to pochodna wielomianu W(x).-- 3 kwi 2010, o 16:21 --Drugie równanie to: \(\displaystyle{ W'(x)=0}\)
askas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 maja 2009, o 14:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 15 razy

Reszta wielomianu

Post autor: askas »

Wciąż nic mi to nie mówi:(
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Reszta wielomianu

Post autor: tometomek91 »

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3-3x^2+ax+b\\
W'(x)=4x^{3}-9x^{2}-6x+a}\)

Więcej szczegółów na wikipedii:

askas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 maja 2009, o 14:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 15 razy

Reszta wielomianu

Post autor: askas »

Już wiem, dlaczego nic mi to nie mówiło Wszystko przez pochodne, których już nie ma w liceum w programie. Dziękuję
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Reszta wielomianu

Post autor: tometomek91 »

Dlaczego wybrałaś ten drugi sposób? Nie mamy problemów z dzieleniem wielomianu W(x) przez wielomian (x-1)(x+1), prawda?
askas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 maja 2009, o 14:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 15 razy

Reszta wielomianu

Post autor: askas »

(x-1)(x+1) to przecież nie to samo co \(\displaystyle{ (x-1)^{2}}\).
Można to zrobić bez wykorzystania pochodnych?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Reszta wielomianu

Post autor: tometomek91 »

yhm, źle skojarzyłem...
Tak można, wyznaczamy resztę z dzielenia:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3-3x^2+ax+b=x^{2}(x^{2}-2x+1)-x^{3}-4x^{2}+ax+b=x^{2}(x^{2}-2x+1)-x(x^{2}-2x+1)-6x^{2}+x(1+a)+b=x^{2}(x^{2}-2x+1)-x(x^{2}-2x+1)-6(x^{2}-2x+1)+x(a-11)+6+b}\)
Reszta ma być równa zero:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=11 \\ b=-6 \end{cases}}\).

natalicz, masz błąd w obliczeniach...
natalicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 275
Rejestracja: 29 lip 2009, o 12:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Reszta wielomianu

Post autor: natalicz »

faktycznie dzieki tomek zaraz poprawie,tylko ze wedlug mnie a wynosi 5 ;p
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Reszta wielomianu

Post autor: tometomek91 »

Tak dla pewności jeszcze wykresik:
% ... E2%2B11x-6
ODPOWIEDZ