Zadania

[Uran0s]

Proszę o pomoc.
Jak rozwiązać te zadania ?

Zad.1

Dla jakich wartości parametrów a, b liczba \(\displaystyle{ x0}\) jest dwukrotnym pierwaistkiem wielomianu w ?

a) \(\displaystyle{ w(x)=6x^4+8x^3-8x^2+ax+b}\) , \(\displaystyle{ x0=-1}\)
b) \(\displaystyle{ w(x)=x^4-3x^3+ax^2+bx+4}\) , \(\displaystyle{ x0=2}\)

Zad.2

Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u.

a)\(\displaystyle{ w(x)=x^5-x^3+x^2-1}\) , \(\displaystyle{ u(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\)
b)\(\displaystyle{ w(x)=x^7-33x+11}\) , \(\displaystyle{ u(x)=(x+1)(x-2)}\)

Jesli komuś to pomoże to podam odpowiedzi do zadań :
Zad1
a) \(\displaystyle{ a=-16}\) , \(\displaystyle{ b=-6}\)
b) \(\displaystyle{ a=1}\) , \(\displaystyle{ b=0}\)

Zad2
a)\(\displaystyle{ -7x^2+7}\)
b)\(\displaystyle{ 10x+53}\)

[wb]

W wyniku pisemnego dzielenia wielomianu w(x) przez (x+1)�=x�+2x+1 otrzymujemy resztę:

(a+16)x+b+6 ,

która z powodu podwójnego pierwiastka musi być zerowa, co ma miejsce dla a=-16, b=-6.

Analogicznie b)

[Lady Tilly]

Innymi słowy dzieląc wielomian dwukrotnie otrzymujesz ukłąd równań
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}b-a-10=0\\a+16=0\end{array}}\)

[wb]

2a)
Wielomian u(x) jest stopnia trzeciego więc reszta jest stopnia co najmniej stopnia drugiego:
r(x)=ax�+bx+c. Szukamy współczynników a, b, c:
w(1)=0, w(-1)=0, w(-2)=-24,
r(1)=a+b+c,
r(-1)=a-b+c,
r(-2)=4a-2b+c.

Ponieważ: w(1)=r(1), w(-1)=r(-1), w(-2)=r(-2) więc rozwiązując układ równań:
a+b+c=0,
a-b+c=0,
4a-2b+c-24,
otrzymujemy:
a=-7, b=0, c=7, więc r(x)=-7x�+7.

2b) analogicznie

[Uran0s]

Innymi słowy dzieląc wielomian dwukrotnie otrzymujesz ukłąd równań
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}b-a-10=0\\a+16=0\end{array}}\)

Nie do końca wiem jak dojść do tego układu równań.

[wb]

Musisz dwukrotnie dzielić w(x) przez x+1. Za każdym razem otrzymywana reszta musi być zerowa. Moim zdaniem łatwiej raz podzielić ale przez (x+1)� czyli x�+2x+1 i wtedy resztę potraktować jako wielomian zerowy.