Dla jakiej wartości parametru a, P jest podzielny przez Q ?

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ P(x)=x^13+x+90 \ Q(x)=x^2-x+a}\)

[Sir George]

Pewnie chodzi o wielomian \(\displaystyle{ P(x)\ =\ x^{13}+\ldots}\)


A zatem, wydzielając (b.mozolnie) wielomian P przez wielomian Q otrzymujemy resztę
\(\displaystyle{ \Big(2-11a+45a^2-84a^3+70a^4-21a^5+a^6\Big)x\,+\, 90-a+10a^2-36a^3+56a^4-35a^5+6a^6}\)
Przyrównując współczynniki reszty do 0 otrzymujemy jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ a\ =\ 2}\)

[W_Zygmunt]

Trochę bym się nie zgodził. Wielomian
\(\displaystyle{ 90 - a + 10\cdot a^{2} - 36\cdot a^{3} + 56\cdot a^{4} - 35\cdot a^{5} + 6\cdot a^{6}}\)
można rozłożyć
\(\displaystyle{ 90 - a + 10\cdot a^{2} - 36\cdot a^{3} + 56\cdot a^{4} - 35\cdot a^{5} + 6\cdot a^{6}\,=\,(a - 2)\cdot (6\cdot a^{5} - 23\cdot a^{4} + 10\cdot a^{3} - 16\cdot a^{2} - 22\cdot a - 45)}\)
Ponieważ drugi wielomian jest stopnia piątego, musi mieć przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
I rzeczywiście jest rozwiązanie
\(\displaystyle{ a_{1}\,=\,3.6908651177....}\)
Wartość tę wyznaczyłem przy pomocy programu Wykresy.exe.

[Sir George]

musi mieć przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Jasne,... może mieć i więcej rozwiązań rzeczywistych, ale..
...jest bowiem ALE...

...oba wielomiany ze względu na a muszą być jednocześnie równe zero. Stąd i jedyne rozwiązanie a=0

[W_Zygmunt]

Nie rozumiem. Jak może wielomian
\(\displaystyle{ 6\cdot a^{5} - 23\cdot a^{4} + 10\cdot a^{3} - 16\cdot a^{2} - 22\cdot a - 45}\)
mieć miejsce zerowe, a wielomian
\(\displaystyle{ 90 - a + 10\cdot a^{2} - 36\cdot a^{3} + 56\cdot a^{4} - 35\cdot a^{5} + 6\cdot a^{6}}\)
nie. Przecież
\(\displaystyle{ (a - 2)\cdot 0\,=\, 0}\)

Stąd i jedyne rozwiązanie a=0

To raczej a=2.

[Sir George]

To raczej a=2.

Racja, mały missprint. Miało być oczywiście a=2...

Nie rozumiem. Jak może wielomian mieć miejsce zerowe...

Czy ja gdzieś napisałem, że a=2 jest jedynym miejscem zerowym? Wydawało mi się , że jasno zaznaczyłem, że jest to jedyne rozwiązanie układu równań (wyznaczonego przez współczynniki reszty...).

[ Dodano: 8 Październik 2006, 12:03 ]
Przy okazji...
Właśnie sprawdziłem numerycznie, że wielomian \(\displaystyle{ -11a+45a^2 -84a^3+70a^4-21a^5+a^6}\) ma dwa (rzeczywiste!) miejsca zerowe: \(\displaystyle{ a\ =\ 2}\) i \(\displaystyle{ a\ \ 17.2069}\)
Natomiast miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ 90-a+10a^2-36a^3+56a^4- 35a^5+6a^6}\) to \(\displaystyle{ a\ =\ 2}\) i \(\displaystyle{ a\ \ 3.69087}\)

[W_Zygmunt]

Dziękuję. Zgadza się. Rzeczywiście, nie przemyślałem.