Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Mam zrobic dowody dotyczace iloczynow funkcji monotonicznych, ale cos chyba przeoczylam? Przedstawie jeden z nich.
CO ROBIE ŻLE ????
\(\displaystyle{ Iloczyn\ funkcji\ rosnacych \ jest \ funkcja \ rosnaca. \\
Niech f: (a,b) \rightarrow R , g: (a,b) \rightarrow R \\
Udowodnię ,że \forall x_1\in (a,b) \forall x_2 \iin (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow (f*g)(x_1)< (f*g)(x_2))
\\
Dla\ dowolnych \x_1 \i\ x_2\ mam \:
\\
\forall x_1 \in (a,b) \forall x_2 \in (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)< f(x_2)) \\
\forall x_1 \in (a,b) \forall x_2 \in (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow g(x_1)< g(x_2))
\\
Dodając\ obustronnie \dostaję: \\
x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)*g(x_1)< f(x_2)*g(x_2)
\\ czyli : (f*g)(x_1)< (f*g)(x_2))
\\
Udowodnilam że iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. Ale o czymś zapominam ? Bo podając przyklad dwóch funkcji f(x)=x i g(x)=x+1 w przedziale (-1,1/2) z mojego dowodu wynikałoby że iloczyn tych funkcji powinien byc rosnący a tak nie jest bo funkcja x(x+1) w przedziale (-1,1/2) jest malejąca.
\\
WIEC MOGLBY MNIE KTOS OSWIECIC W CZYM JA SIE MYLE ?????}\)
CO ROBIE ŻLE ????
\(\displaystyle{ Iloczyn\ funkcji\ rosnacych \ jest \ funkcja \ rosnaca. \\
Niech f: (a,b) \rightarrow R , g: (a,b) \rightarrow R \\
Udowodnię ,że \forall x_1\in (a,b) \forall x_2 \iin (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow (f*g)(x_1)< (f*g)(x_2))
\\
Dla\ dowolnych \x_1 \i\ x_2\ mam \:
\\
\forall x_1 \in (a,b) \forall x_2 \in (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)< f(x_2)) \\
\forall x_1 \in (a,b) \forall x_2 \in (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow g(x_1)< g(x_2))
\\
Dodając\ obustronnie \dostaję: \\
x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)*g(x_1)< f(x_2)*g(x_2)
\\ czyli : (f*g)(x_1)< (f*g)(x_2))
\\
Udowodnilam że iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. Ale o czymś zapominam ? Bo podając przyklad dwóch funkcji f(x)=x i g(x)=x+1 w przedziale (-1,1/2) z mojego dowodu wynikałoby że iloczyn tych funkcji powinien byc rosnący a tak nie jest bo funkcja x(x+1) w przedziale (-1,1/2) jest malejąca.
\\
WIEC MOGLBY MNIE KTOS OSWIECIC W CZYM JA SIE MYLE ?????}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Tak na pierwszy rzut oka, to z tym dowodem jest coś nie tak przy dodawaniu stronami.
Zakładając, że u Koleżanki \(\displaystyle{ (f*g)(x)}\) oznacza \(\displaystyle{ f(x)g(x)}\), to z kontrprzykładu \(\displaystyle{ x(x+1)}\) widać, że zdanie Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnacą nie jest twierdzeniem, a więc sam dowód jest bezcelowy.
Rzecz przedstawia się (chyba?) inaczej dla superpozycji funkcji.
Zakładając, że u Koleżanki \(\displaystyle{ (f*g)(x)}\) oznacza \(\displaystyle{ f(x)g(x)}\), to z kontrprzykładu \(\displaystyle{ x(x+1)}\) widać, że zdanie Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnacą nie jest twierdzeniem, a więc sam dowód jest bezcelowy.
Rzecz przedstawia się (chyba?) inaczej dla superpozycji funkcji.
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
JankoS pisze:Tak na pierwszy rzut oka, to z tym dowodem jest coś nie tak przy dodawaniu stronami.
Zakładając, że u Koleżanki \(\displaystyle{ (f*g)(x)}\) oznacza \(\displaystyle{ f(x)g(x)}\), to z kontrprzykładu \(\displaystyle{ x(x+1)}\) widać, że zdanie Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnacą nie jest twierdzeniem, a więc sam dowód jest bezcelowy.
Rzecz przedstawia się (chyba?) inaczej dla superpozycji funkcji.
Hmmm nie rozumiem skoro moj dowod jest bezcelowy ( mi jest akurat niezbedny ) w takim razie co mozesz powiedziec o iloczynach funkcji monotonicznych ? ze nie istnieje cos takiego wogole ?
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Zachodzi:
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)=fg+f\Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g}\)
Ostatni wyraz jest zawsze dodatni, natomiast drugi i trzeci mogą być ujemne jeżeli odpowiednio f lub g są ujemne, w granicy one też decydują o tym, czy dla danego x iloczyn funkcji będzie rosnący.
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)=fg+f\Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g}\)
Ostatni wyraz jest zawsze dodatni, natomiast drugi i trzeci mogą być ujemne jeżeli odpowiednio f lub g są ujemne, w granicy one też decydują o tym, czy dla danego x iloczyn funkcji będzie rosnący.
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Dowód jest bezcelowy, bo "twierdzenie" nie jest twierdzeniem, o czym świadczy znaleziony przez Koleżankę kontrprzykład.chmora pisze: Hmmm nie rozumiem skoro moj dowod jest bezcelowy ( mi jest akurat niezbedny ) w takim razie co mozesz powiedziec o iloczynach funkcji monotonicznych ? ze nie istnieje cos takiego wogole ?
Iloczyn funkcji monotonicznych (jeżeli maja takie dame dziedziny) istnieje, ale nie musi się zgadzać, co motoniczności z monotonicznością czynnków.
Np. x rośnie na przedzale <-1,0>, \(\displaystyle{ x \cdot x}\) maleje.
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
mkb pisze:Zachodzi:
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)=fg+f\Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g}\)
Ostatni wyraz jest zawsze dodatni, natomiast drugi i trzeci mogą być ujemne jeżeli odpowiednio f lub g są ujemne, w granicy one też decydują o tym, czy dla danego x iloczyn funkcji będzie rosnący.
Czyli delta oznacza przyrost ? jak to mam tu rozumiec ? skoro czwarty wyraz jest dodatni , drugi i trzeci dodatnie lub ujemne to jaki jest pierwszy? Moglbys mi konkretny przyklad podac ?
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Oznaczyłem:
\(\displaystyle{ \Delta f=f(x+ \Delta x)-f(x)}\)
\(\displaystyle{ fg}\) to wartość iloczynu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)}\) to iloczyn w dla \(\displaystyle{ x+ \Delta x}\). Suma drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu to przyrost iloczynu funkcji, on nas interesuje dla zbadania monotoniczności. A w granicy drugi i trzeci, a właściwie znak pochodnej:
\(\displaystyle{ f \cdot g'+g \cdot f'}\)
Mimo że obie pochodne są nieujemne, pochodna iloczynu może być ujemna.
Jak napisał Janko, skoro jest kontrprzykład, nie ma co udowadniać, ale poszukać błędu we własnym dowodzie. Tam, pisząc "dodając obustronnie", definiujemy operację \(\displaystyle{ f*g}\) jako sumę a nie iloczyn; przy mnożeniu nierówność nie będzie w ogólności utrzymana.
Na marginesie, dla złożenia funkcji: \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=f(g(x))}\) twierdzenie będzie prawdziwe.
\(\displaystyle{ \Delta f=f(x+ \Delta x)-f(x)}\)
\(\displaystyle{ fg}\) to wartość iloczynu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)}\) to iloczyn w dla \(\displaystyle{ x+ \Delta x}\). Suma drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu to przyrost iloczynu funkcji, on nas interesuje dla zbadania monotoniczności. A w granicy drugi i trzeci, a właściwie znak pochodnej:
\(\displaystyle{ f \cdot g'+g \cdot f'}\)
Mimo że obie pochodne są nieujemne, pochodna iloczynu może być ujemna.
Jak napisał Janko, skoro jest kontrprzykład, nie ma co udowadniać, ale poszukać błędu we własnym dowodzie. Tam, pisząc "dodając obustronnie", definiujemy operację \(\displaystyle{ f*g}\) jako sumę a nie iloczyn; przy mnożeniu nierówność nie będzie w ogólności utrzymana.
Na marginesie, dla złożenia funkcji: \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=f(g(x))}\) twierdzenie będzie prawdziwe.
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
mkb pisze:Oznaczyłem:
\(\displaystyle{ \Delta f=f(x+ \Delta x)-f(x)}\)
\(\displaystyle{ fg}\) to wartość iloczynu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)}\) to iloczyn w dla \(\displaystyle{ x+ \Delta x}\). Suma drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu to przyrost iloczynu funkcji, on nas interesuje dla zbadania monotoniczności. A w granicy drugi i trzeci, a właściwie znak pochodnej:
\(\displaystyle{ f \cdot g'+g \cdot f'}\)
Mimo że obie pochodne są nieujemne, pochodna iloczynu może być ujemna.
Jak napisał Janko, skoro jest kontrprzykład, nie ma co udowadniać, ale poszukać błędu we własnym dowodzie. Tam, pisząc "dodając obustronnie", definiujemy operację \(\displaystyle{ f*g}\) jako sumę a nie iloczyn; przy mnożeniu nierówność nie będzie w ogólności utrzymana.
Na marginesie, dla złożenia funkcji: \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=f(g(x))}\) twierdzenie będzie prawdziwe.
Czyli jezeli dobrze zrozumialam to :
dla dwoch funkcji :
\(\displaystyle{ f,g:(-2,0) \rightarrow R}\) \
takich że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) , \(\displaystyle{ g(x)=x-1}\)
dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ \Delta x=1/2}\)
\(\displaystyle{ \Delta f=1/2}\),\(\displaystyle{ \Delta g=-1/2}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=-1}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=2}\)
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g )=-2+(-1)(-1/2)+2*1/2-1/4=-3/4 <0}\)
Hmm ?
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
\(\displaystyle{ \Delta g=0,5}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=-2}\)
Chyba że \(\displaystyle{ g(x)=1-x}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=-2}\)
Chyba że \(\displaystyle{ g(x)=1-x}\)
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Aaa tak , moj blad w obliczeniach. Czyli teraz od znaku jaki mi wyjdzie zalezy mi czy to bedzie rosnace czy malejace ? Gdybym chciala od razu uwzlednic moj caly przedzial \(\displaystyle{ (-2,0)}\)to dalabym np\(\displaystyle{ x=-2}\) i \(\displaystyle{ \Delta x = 2}\) czy tak nie moge myslec? Bo chce wiedziec czy ten iloczyn dla wszystkich wartosci x z tego przedzialu bedzie funkcja rosnaca lub malejącą ?mkb pisze:\(\displaystyle{ \Delta g=0,5}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=-2}\)
Chyba że \(\displaystyle{ g(x)=1-x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????
Zbadaj klasycznie, przez pochodną iloczynu.
Iloczyn dwóch funkcji liniowych jest funkcją kwadratową, znajomość wartości na końcach przedziału nie wystarcza na określenie przebiegu wewnątrz niego. Dla funkcji liniowych można znaleźć ich miejsca zerowe, ekstremum iloczynu będzie dla średniej arytmetycznej tych miejsc. Jeżeli średnia jest poza przedziałem, funkcja w przedziale jest monotoniczna.
W ogólnym przypadku iloczyn będzie monotoniczny, gdy obie funkcje będą dodatnie.
Iloczyn dwóch funkcji liniowych jest funkcją kwadratową, znajomość wartości na końcach przedziału nie wystarcza na określenie przebiegu wewnątrz niego. Dla funkcji liniowych można znaleźć ich miejsca zerowe, ekstremum iloczynu będzie dla średniej arytmetycznej tych miejsc. Jeżeli średnia jest poza przedziałem, funkcja w przedziale jest monotoniczna.
W ogólnym przypadku iloczyn będzie monotoniczny, gdy obie funkcje będą dodatnie.