Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
chmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 cze 2009, o 09:12
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: chmora »

Mam zrobic dowody dotyczace iloczynow funkcji monotonicznych, ale cos chyba przeoczylam? Przedstawie jeden z nich.
CO ROBIE ŻLE ????
\(\displaystyle{ Iloczyn\ funkcji\ rosnacych \ jest \ funkcja \ rosnaca. \\

Niech f: (a,b) \rightarrow R , g: (a,b) \rightarrow R \\

Udowodnię ,że \forall x_1\in (a,b) \forall x_2 \iin (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow (f*g)(x_1)< (f*g)(x_2))
\\
Dla\ dowolnych \x_1 \i\ x_2\ mam \:
\\
\forall x_1 \in (a,b) \forall x_2 \in (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)< f(x_2)) \\
\forall x_1 \in (a,b) \forall x_2 \in (a,b) (x_1<x_2 \Rightarrow g(x_1)< g(x_2))
\\
Dodając\ obustronnie \dostaję: \\
x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)*g(x_1)< f(x_2)*g(x_2)
\\ czyli : (f*g)(x_1)< (f*g)(x_2))
\\

Udowodnilam że iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. Ale o czymś zapominam ? Bo podając przyklad dwóch funkcji f(x)=x i g(x)=x+1 w przedziale (-1,1/2) z mojego dowodu wynikałoby że iloczyn tych funkcji powinien byc rosnący a tak nie jest bo funkcja x(x+1) w przedziale (-1,1/2) jest malejąca.
\\

WIEC MOGLBY MNIE KTOS OSWIECIC W CZYM JA SIE MYLE ?????}\)
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: JankoS »

Tak na pierwszy rzut oka, to z tym dowodem jest coś nie tak przy dodawaniu stronami.
Zakładając, że u Koleżanki \(\displaystyle{ (f*g)(x)}\) oznacza \(\displaystyle{ f(x)g(x)}\), to z kontrprzykładu \(\displaystyle{ x(x+1)}\) widać, że zdanie Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnacą nie jest twierdzeniem, a więc sam dowód jest bezcelowy.
Rzecz przedstawia się (chyba?) inaczej dla superpozycji funkcji.
chmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 cze 2009, o 09:12
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: chmora »

JankoS pisze:Tak na pierwszy rzut oka, to z tym dowodem jest coś nie tak przy dodawaniu stronami.
Zakładając, że u Koleżanki \(\displaystyle{ (f*g)(x)}\) oznacza \(\displaystyle{ f(x)g(x)}\), to z kontrprzykładu \(\displaystyle{ x(x+1)}\) widać, że zdanie Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnacą nie jest twierdzeniem, a więc sam dowód jest bezcelowy.
Rzecz przedstawia się (chyba?) inaczej dla superpozycji funkcji.

Hmmm nie rozumiem skoro moj dowod jest bezcelowy ( mi jest akurat niezbedny ) w takim razie co mozesz powiedziec o iloczynach funkcji monotonicznych ? ze nie istnieje cos takiego wogole ?
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: mkb »

Zachodzi:
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)=fg+f\Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g}\)
Ostatni wyraz jest zawsze dodatni, natomiast drugi i trzeci mogą być ujemne jeżeli odpowiednio f lub g są ujemne, w granicy one też decydują o tym, czy dla danego x iloczyn funkcji będzie rosnący.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: JankoS »

chmora pisze: Hmmm nie rozumiem skoro moj dowod jest bezcelowy ( mi jest akurat niezbedny ) w takim razie co mozesz powiedziec o iloczynach funkcji monotonicznych ? ze nie istnieje cos takiego wogole ?
Dowód jest bezcelowy, bo "twierdzenie" nie jest twierdzeniem, o czym świadczy znaleziony przez Koleżankę kontrprzykład.
Iloczyn funkcji monotonicznych (jeżeli maja takie dame dziedziny) istnieje, ale nie musi się zgadzać, co motoniczności z monotonicznością czynnków.
Np. x rośnie na przedzale <-1,0>, \(\displaystyle{ x \cdot x}\) maleje.
chmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 cze 2009, o 09:12
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: chmora »

mkb pisze:Zachodzi:
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)=fg+f\Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g}\)
Ostatni wyraz jest zawsze dodatni, natomiast drugi i trzeci mogą być ujemne jeżeli odpowiednio f lub g są ujemne, w granicy one też decydują o tym, czy dla danego x iloczyn funkcji będzie rosnący.


Czyli delta oznacza przyrost ? jak to mam tu rozumiec ? skoro czwarty wyraz jest dodatni , drugi i trzeci dodatnie lub ujemne to jaki jest pierwszy? Moglbys mi konkretny przyklad podac ?
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: mkb »

Oznaczyłem:
\(\displaystyle{ \Delta f=f(x+ \Delta x)-f(x)}\)

\(\displaystyle{ fg}\) to wartość iloczynu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)}\) to iloczyn w dla \(\displaystyle{ x+ \Delta x}\). Suma drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu to przyrost iloczynu funkcji, on nas interesuje dla zbadania monotoniczności. A w granicy drugi i trzeci, a właściwie znak pochodnej:
\(\displaystyle{ f \cdot g'+g \cdot f'}\)
Mimo że obie pochodne są nieujemne, pochodna iloczynu może być ujemna.

Jak napisał Janko, skoro jest kontrprzykład, nie ma co udowadniać, ale poszukać błędu we własnym dowodzie. Tam, pisząc "dodając obustronnie", definiujemy operację \(\displaystyle{ f*g}\) jako sumę a nie iloczyn; przy mnożeniu nierówność nie będzie w ogólności utrzymana.

Na marginesie, dla złożenia funkcji: \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=f(g(x))}\) twierdzenie będzie prawdziwe.
chmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 cze 2009, o 09:12
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: chmora »

mkb pisze:Oznaczyłem:
\(\displaystyle{ \Delta f=f(x+ \Delta x)-f(x)}\)

\(\displaystyle{ fg}\) to wartość iloczynu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g)}\) to iloczyn w dla \(\displaystyle{ x+ \Delta x}\). Suma drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu to przyrost iloczynu funkcji, on nas interesuje dla zbadania monotoniczności. A w granicy drugi i trzeci, a właściwie znak pochodnej:
\(\displaystyle{ f \cdot g'+g \cdot f'}\)
Mimo że obie pochodne są nieujemne, pochodna iloczynu może być ujemna.

Jak napisał Janko, skoro jest kontrprzykład, nie ma co udowadniać, ale poszukać błędu we własnym dowodzie. Tam, pisząc "dodając obustronnie", definiujemy operację \(\displaystyle{ f*g}\) jako sumę a nie iloczyn; przy mnożeniu nierówność nie będzie w ogólności utrzymana.

Na marginesie, dla złożenia funkcji: \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=f(g(x))}\) twierdzenie będzie prawdziwe.



Czyli jezeli dobrze zrozumialam to :

dla dwoch funkcji :
\(\displaystyle{ f,g:(-2,0) \rightarrow R}\) \
takich że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) , \(\displaystyle{ g(x)=x-1}\)
dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ \Delta x=1/2}\)
\(\displaystyle{ \Delta f=1/2}\),\(\displaystyle{ \Delta g=-1/2}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=-1}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=2}\)
\(\displaystyle{ (f+\Delta f)(g+\Delta g )=-2+(-1)(-1/2)+2*1/2-1/4=-3/4 <0}\)

Hmm ?
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: mkb »

\(\displaystyle{ \Delta g=0,5}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=-2}\)

Chyba że \(\displaystyle{ g(x)=1-x}\)
chmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 cze 2009, o 09:12
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: chmora »

mkb pisze:\(\displaystyle{ \Delta g=0,5}\)
\(\displaystyle{ g(-1)=-2}\)

Chyba że \(\displaystyle{ g(x)=1-x}\)
Aaa tak , moj blad w obliczeniach. Czyli teraz od znaku jaki mi wyjdzie zalezy mi czy to bedzie rosnace czy malejace ? Gdybym chciala od razu uwzlednic moj caly przedzial \(\displaystyle{ (-2,0)}\)to dalabym np\(\displaystyle{ x=-2}\) i \(\displaystyle{ \Delta x = 2}\) czy tak nie moge myslec? Bo chce wiedziec czy ten iloczyn dla wszystkich wartosci x z tego przedzialu bedzie funkcja rosnaca lub malejącą ?
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. ??????

Post autor: mkb »

Zbadaj klasycznie, przez pochodną iloczynu.
Iloczyn dwóch funkcji liniowych jest funkcją kwadratową, znajomość wartości na końcach przedziału nie wystarcza na określenie przebiegu wewnątrz niego. Dla funkcji liniowych można znaleźć ich miejsca zerowe, ekstremum iloczynu będzie dla średniej arytmetycznej tych miejsc. Jeżeli średnia jest poza przedziałem, funkcja w przedziale jest monotoniczna.
W ogólnym przypadku iloczyn będzie monotoniczny, gdy obie funkcje będą dodatnie.
ODPOWIEDZ