pierwiastki rownania

marian758 · Post autor: **marian758** » 21 mar 2010, o 13:43

rozwiaz rownanie \(\displaystyle{ x ^{3}+px+q = 0}\) wiedząc, że dwa jego pierwiastki są sobie równe, a trzeci jest od nich o 3 mniejszy. Jkaies pomysly?

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 21 mar 2010, o 14:11

Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ (x-a) ^{2} (x-(a-3))=0}\).
Teraz trzeba to wymnożyć.

gronostaj · Post autor: **gronostaj** » 3 kwie 2011, o 23:42

no i wychodzi:
\(\displaystyle{ x ^{3} + px + q = x ^{3} + 3x(a ^{2} - 2a) + 3x ^{2}(1 - a) - a ^{3} + 3a}\)
z czego wynika że
\(\displaystyle{ p = 3(a ^{2} - 2a)
p= 3a(a - 2)}\)
oraz
\(\displaystyle{ q = 3x ^{2} (1 - a ) - a ^{3} + 3a}\)
no i co teraz?
wynik ma być x1= x2 = 1, x3= -2

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 4 kwie 2011, o 05:15

Wystarczy wzór Viete'a na sumę pierwiastków

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=a \\ x_{2}=a\\x_{3}=a-3 \end{cases}}\)

Ze wzoru Viete'a na sumę pierwiastków mamy

\(\displaystyle{ 3a-3=0\\
3a=3\\
a=1}\)