Natknąłem się na zadanie które sprawiło mi problem. Pochodzi z jakieś matury próbnej (okręgu nie pamiętam).
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ x^4+x^3-x-1}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ x^3+x^2+x+1}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez \(\displaystyle{ x^2-1}\).
Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 2x+2}\). Nie wiem jak do tego dojść, brak mi potrzebnej wiedzy na temat tw. Bezouta, chodzi o te stopnie. Jakby ktoś mógł przytoczyć jakieś twierdzenie Rozwiązaniem też nie pogardzę
Pozdrawiam pokerstar
Wielomian (zastosowanie tw. Bezouta)
-
pokerstar45
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 07:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 3 razy
-
koziol51
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 12:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BI
- Pomógł: 2 razy
Wielomian (zastosowanie tw. Bezouta)
Moge sie mylić... W(x) jest sumą wielomianu przez który dzielony jest W(x) i reszty dzielenia. Według mnie trzeba zsumować te dwa wyrażenia i poźniej podzielic przez \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\)
-
pokerstar45
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 07:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 3 razy
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Wielomian (zastosowanie tw. Bezouta)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x^{4}+x^{3}-x-1)+x^{3}+x^{2}+x+1=
Q(x) \cdot (x^{3}-1)(x+1) + x^{3}+x^{2}+x+1=
Q(x) \cdot (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)+ x^{3}+x^{2}+x+1}\)
Z tej postaci jasno wynika, że licząc \(\displaystyle{ W(1)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\) otrzymamy samą resztę \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+1}\) \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest pomocnicze, by zgadzał się formalny zapis.
\(\displaystyle{ W(1)=1^{3}+1^{2}+1+1=4}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=0}\)
Teraz zapiszemy nasz wielomian przy użyciu naszego docelowego dzielnika. \(\displaystyle{ P(x)}\) pomocnicze, a \(\displaystyle{ R(x)}\) to szukana reszta
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot (x^{2}-1) + R(x)}\)
Zauważam, że
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x) \cdot (x^{2}+x+1)}\)
W sumie nic nam to nie daje, ale fajnie wiedzieć xD
Teraz ważna sprawa: reszta z dzielenia jest zawsze o stopień niższa od dzielnika. Czyli
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
Znając reszty dla 1 i -1 możemy łatwo obliczyć a i b
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 1+b=4 \\ a \cdot (-1)+b=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases}}\)
Czyli nasz reszta ma postać
\(\displaystyle{ 2x+2}\)
Q(x) \cdot (x^{3}-1)(x+1) + x^{3}+x^{2}+x+1=
Q(x) \cdot (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)+ x^{3}+x^{2}+x+1}\)
Z tej postaci jasno wynika, że licząc \(\displaystyle{ W(1)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\) otrzymamy samą resztę \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+1}\) \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest pomocnicze, by zgadzał się formalny zapis.
\(\displaystyle{ W(1)=1^{3}+1^{2}+1+1=4}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=0}\)
Teraz zapiszemy nasz wielomian przy użyciu naszego docelowego dzielnika. \(\displaystyle{ P(x)}\) pomocnicze, a \(\displaystyle{ R(x)}\) to szukana reszta
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot (x^{2}-1) + R(x)}\)
Zauważam, że
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x) \cdot (x^{2}+x+1)}\)
W sumie nic nam to nie daje, ale fajnie wiedzieć xD
Teraz ważna sprawa: reszta z dzielenia jest zawsze o stopień niższa od dzielnika. Czyli
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
Znając reszty dla 1 i -1 możemy łatwo obliczyć a i b
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 1+b=4 \\ a \cdot (-1)+b=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases}}\)
Czyli nasz reszta ma postać
\(\displaystyle{ 2x+2}\)