Dla jakiego paramertu a wielomian ma 4 różne pierwiastki

[lookasiu87]

dla jakich wartosci parametru a równanie \(\displaystyle{ x^4 -(a+1)x^2 +4=0}\) ma cztery różne pierwiastki

[arigo]

\(\displaystyle{ x^2=t\\

\\ \Delta > 0\\
t_1 \cdot t_2 \ge 0}\)

[gnicz]

Podstawiamy \(\displaystyle{ t = x^2}\).

\(\displaystyle{ t^2 - (a + 1)t + 4 = 0}\)

Oznaczmy wyroznik trojmianu przez D:

\(\displaystyle{ D = (a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a + 1)^2 - 16}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ D > 0\\
(a + 1)^2 - 16 > 0\\
(a + 1)^2 > 16 \Rightarrow (a + 1 > 4) \vee (a + 1 (a > 3) \vee (a < -5)}\)

Pozdrawiam, GNicz

[olazola]

a co jeśli rowiązania czyli \(\displaystyle{ t_1}\) lub \(\displaystyle{ t_2}\) są ujemnie, po powrocie do podstawinia w życiu nie dostaniemy czterech rozwiązań.
radzę zrobić dotatkowe założenia
\(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2>0\\
t_1+t_2>0}\)
i zastosować wzory Viete'a