Wielomian i reszta

[dragon200]

1.Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^4+2x^2-3}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ R(x)=x^3-2x^2+x+2}\). Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ F(x)=x^2-1}\)

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ F(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ P(x)=x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3)=(x-1)(x+1)(x^2+3)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=Q_1(x)*(x-1)(x+1)(x^2+3)+R(x)}\)

Policzmy W(1) i W(-1):
\(\displaystyle{ W(-1)=Q_1(-1)*(-1-1)(-1+1)(x^2+3)+R(-1)=-2 \\ W(1)=Q_1(1)*(1-1)(1+1)(x^2+3)+R(1)=2}\)

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomiany W(x) przez F(x) może być co najwyżej pierwszego stopnia. Oznaczmy resztę jako funkcję:
\(\displaystyle{ D(x)=ax+b}\)

Zapiszmy:
\(\displaystyle{ W(x)=Q_2(x)*F(x)+D(x)=Q_2(x)*(x-1)(x+1)+ax+b}\)
Układamy układ równań by wyliczyc a i b:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=2 \\ W(-1)=-2 \end{cases}}\)