Wielomiany, poziom ponadgimnazjalny

DelCortez · Post autor: **DelCortez** » 13 mar 2010, o 22:56

1 Rozloz wielomiany na czynniki jak najnizszego stopnia

\(\displaystyle{ y=3x^{3} + 9x ^{2} - 5x - 15}\)
\(\displaystyle{ y=3x^{3} + 10x ^{2} + 7x}\)
\(\displaystyle{ y=(x-3x^{2})(2x^{3}-16)(x^{2} +4)}\)
\(\displaystyle{ y=-x^{4}+2x^{2}+3}\)
\(\displaystyle{ y=x^{4}-9}\)

2 Okresl dla jakich a, wielomiany P(x) i W(x) sa rowne

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-4)(2x^{2}+x)}\)
\(\displaystyle{ P(x)=2x^{4}+x^{3}+ax^{2}-4x}\)

3 Rozwiaz rownania

\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} - 2x=0}\)
\(\displaystyle{ -x^{3} + 3x^{2} +x-3=0}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 mar 2010, o 23:12

Wskazówka:

Zakładam, że z czynnikami drugiego stopnia poradzisz sobie bez problemu.

1a) Wyciągnij przed nawias wspólny czynnik ze składnika 1 i 2 oraz 3 i 4
b) wyciągnij x przed nawias
c) w drugim czynniku wyciągnij 2 przed nawias i skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów
d) zrób podstawienie \(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
e) skorzystaj dwukrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów.

2) Wymnóż nawiasy i przyrównaj współczynniki przy tych samych potęgach

3a) wyciągnij x przed nawias.
b) wyciągnij przed nawias wspólny czynnik ze składników 1 i 3 oraz 2 i 4

siernieczka · Post autor: **siernieczka** » 13 mar 2010, o 23:16

\(\displaystyle{ 3x ^{3}+9x^{2}-5x-15=3x^{2}(x+3)-5(x+3)=(3x^{2}-5)(x+3) \\

3x^{3}+7x^{2}+10x=(x+1)(3x^{2}+7x)}\)
to są dwa pierwsze przyklady

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 mar 2010, o 23:26

siernieczka pisze:\(\displaystyle{ 3x ^{3}+9x^{2}-5x-15=3x^{2}(x+3)-5(x+3)=(3x^{2}-5)(x+3)}\)

To jeszcze nie koniec, bo mają to być czynniki najniższego stopnia.

siernieczka pisze:\(\displaystyle{ 3x^{3}+7x^{2}+10x=(x+1)(3x^{2}+7x)}\)

Jesteś pewna, że to jest dobrze?

\(\displaystyle{ (x+1)(3x^{2}+7x)=3x^{3}+7x^{2}+3x^{2}+7x=3x^{3}+10x^{2}+7x \neq 3x^{3}+7x^{2}+10x}\)

siernieczka · Post autor: **siernieczka** » 13 mar 2010, o 23:42

\(\displaystyle{ 3x^{3}+10x^{2}+7x=x(3x^{2}+10x+7)=x(3x+7)(x+1)}\)
teraz jest ok?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 mar 2010, o 23:45

Teraz oblicz pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} \ oraz \ x_{2}}\) i zapisz ten trójmian w postaci iloczynowej, czyli w postaci:

\(\displaystyle{ a(x-x_{1})(x-x_{2})}\)

A w pierwszym przykładzie nie zapomnij rozłożyć na czynniki wyrażenia:

\(\displaystyle{ 3x^{2}-5}\)

------------------------

Po edycji drugi przykład masz OK.
Niektórzy uważają, że formalnie poprawny zapis trójmianu w postaci iloczynowej jest taki jak podałem wyżej (czyli w tym konkretnym przykładzie należałoby wyciągnąć 3 z drugiego czynnika przed iloczyn)

siernieczka · Post autor: **siernieczka** » 13 mar 2010, o 23:53

okej no to teraz 3 przyklad
\(\displaystyle{ (x-3x^{2})(2x^{3}-16)(x^{2}+4)=x(1-3x)(x-2)(x^{2}+2x+4)(x^{2}+4)=x(1-3x)(x-2)(x+1)(x+1)(x^{2}+4)}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 mar 2010, o 23:58

Trzeci przykład też ma błędy.

W wyniku "zgubiłaś" 2, którą wyciągnęłaś przed nawias z drugiego czynnika \(\displaystyle{ 2(x^{3}-8)}\).

A drugi błąd jest tutaj:

\(\displaystyle{ x^{2}+2x+4 \neq (x+1)(x+1)}\)

Ten trójmian jest nierozkładalny na czynniki dla liczb rzeczywistych (jaka jest delta?)

siernieczka · Post autor: **siernieczka** » 14 mar 2010, o 00:05

acha czyli bedzie tak: \(\displaystyle{ 2x(1-3x)(x-2)(x^{2}+2x+4)(x^{2}+4)}\)
a mam do ciebie pytanie mat_61 czy znasz sie moze na iloczynach skalarnych funkcji w przestrzeni np. zespolonej?-- 13 mar 2010, o 23:10 --teraz ten \(\displaystyle{ x^{4}-9=(x^{2}+3)(x^{2}-3)=(x^{2}+3)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 mar 2010, o 00:11

siernieczka pisze:acha czyli bedzie tak: \(\displaystyle{ 2x(1-3x)(x-2)(x^{2}+2x+4)(x^{2}+4)}\)

Tak

Jeżeli chodzi o przestrzeń liczb zespolonych to nie mogę służyć pomocą (było dawno temu i nie bardzo chce mi się do tego wracać)

-----------------------

Przykład \(\displaystyle{ x^{4}-9}\) jest OK

siernieczka · Post autor: **siernieczka** » 14 mar 2010, o 00:16

okej dzieki no to teraz jeszcze ostatni przyklad:
\(\displaystyle{ -x^{4}+2x+3=-x^{2}(x-1)(x+1)+x^{2}+3}\)
dalej chyba nie mam pomyslu(o ile sie da)
czekaj zmieniam:
bo mat_61 ma racje zeby przez podstawienie i wtedy wyjdzie \(\displaystyle{ -(x-\sqrt{3})(x+ \sqrt{3}) (x^{2}+1)}\) teraz?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 mar 2010, o 00:21

Jeżeli to jest 4 przykład z pierwszego zadania to tam jest:

\(\displaystyle{ -x^{4}+2x^{2}+3}\)

Zrób go zgodnie z wcześniejszą wskazówką tzn. podstaw \(\displaystyle{ x^{2}=t}\) rozłóż otrzymany trójmian na postać iloczynową, podstaw \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i rozłóż jeżeli się da te czynniki zawierające \(\displaystyle{ x^{2}}\)

---------------------

No to teraz jeszcze rozłóż na czynniki \(\displaystyle{ x^{2}-3}\)

---------------------

Po ostatniej edycji jest OK

DelCortez · Post autor: **DelCortez** » 14 mar 2010, o 12:31

To ktore przykaldy w koncu sa dobrze? xD
Prosilbym ew. o numerowanie zadan.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 mar 2010, o 13:02

Przeczytaj uważnie cały wątek.
Te przykłady, które robiła siernieczka to po poprawkach zrobiła dobrze.

Najlepiej zrób sobie te przykłady sam, porównaj z tym co już jest w tym wątku (zauważ, że są to tylko przykłady z zadania 1) a jak masz wątpliwości to po prostu spytaj o konkretną rzecz w konkretnym zadaniu.

DelCortez · Post autor: **DelCortez** » 15 mar 2010, o 18:56

Mam problem z czyms takim:
dla jakich a i b liczby -1 i 2 sa pierwiastkami wielomianu

\(\displaystyle{ W(x)=-x^{3}+ax^{2}+bx+2}\)