Wielomiany, poziom ponadgimnazjalny

[mat_61]

Wskazówka:

Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=0 \\ W(2)=0 \end{cases}}\)

Jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) to W(a)=0

[DelCortez]

Czyli to ma byc tak?:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=1^{3}+a^{2}+b+2 \\ W(x)=-2^{3}+a2^{2}+2b+2 \end{cases}}\)
i dalej to poprostu uklad rownan rozwiazac?

a co do tego:
\(\displaystyle{ -x^{4}+2x^{2}+3}\)

to wyszlo mi \(\displaystyle{ x= \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x= -\sqrt{3}}\)
i nie wiem co z tym dalej zrobic ...

[mat_61]

Czyli to ma byc tak?:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=1^{3}+a^{2}+b+2 \\ W(x)=-2^{3}+a2^{2}+2b+2 \end{cases}}\)
i dalej to poprostu uklad rownan rozwiazac?.

Nie za bardzo tak, bo to miało być W(-1) oraz W(2) , czyli nie dwa razy W(x) tylko:

\(\displaystyle{ W(-1)=-(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+2=1+a-b+2=a-b+3=0}\)

Podobnie wyznacz W(2) i napisz poprawny układ równań.

a co do tego:
\(\displaystyle{ -x^{4}+2x^{2}+3}\)

to wyszlo mi \(\displaystyle{ x= \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x= -\sqrt{3}}\)
i nie wiem co z tym dalej zrobic ...

Trochę to chaotycznie napisałeś. Nie ma polecenia tylko jakieś wyrwane z kontekstu zapisy.
Jeżeli to chodzi o przykład 4 z zadania 1, to masz go już wyżej zrobiony (patrz posty: 14 mar 2010, o 00:16 oraz 14 mar 2010, o 00:21)

[DelCortez]

Tak chodzi o 4 przyklad. Tam mi wyszlo nie x=sqrt 3 tylko t=sqrt 3 i sqrt -3. I wlasnie nie wiem jak to dalej zrobic ;/

[mat_61]

Napisałem Ci w którym poście jest rozwiązanie tego przykładu.
Jeżeli jest coś niejasnego, to napisz całe swoje przekształcenia. Wtedy będzie widać czy jest dobrze, a jeśli nie to gdzie jest błąd.
A jak napiszesz wyrwany z kontekstu zwrot typu "tam mi wyszło coś" to nie wiadomo ani gdzie, ani z jakich przekształceń i wtedy trudno coś sensownego i pomocnego Ci napisać.

[DelCortez]

Jeżeli to jest 4 przykład z pierwszego zadania to tam jest:

\(\displaystyle{ -x^{4}+2x^{2}+3}\)

Zrób go zgodnie z wcześniejszą wskazówką tzn. podstaw \(\displaystyle{ x^{2}=t}\) rozłóż otrzymany trójmian na postać iloczynową, podstaw \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i rozłóż jeżeli się da te czynniki zawierające \(\displaystyle{ x^{2}}\)

Wyszlo mi \(\displaystyle{ t= \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ t= -\sqrt{3}}\)

I co z tym dalej zrobic? i dlaczego mam podstawiac, skoro tam trzeba rozlozyc na czynniki?

[mat_61]

Skąd masz takie wartości t?

Masz po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{2}=t}\) coś takiego:

\(\displaystyle{ -t^{2}+2t+3}\)

Po rozłożeniu na czynniki (gdybyś przy rozkładzie korzystał z obliczania pierwiastków trójmianu kwadratowego to otrzymałbyś t=3 oraz t= -1):

\(\displaystyle{ -(t-3)(t+1)}\)

Myślę, że do tego momentu jest to jasne? Teraz z powrotem podstawiasz \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) czyli masz coś takiego:

\(\displaystyle{ -(x^{2}-3)(x^{2}+1)}\)

I teraz masz rozłożyć na czynniki różnicę kwadratów (pierwszy nawias), natomiast drugi nawias jest nierozkładalny na czynniki dla liczb rzeczywistych.

W którym miejscu masz więc przy rozkładzie na czynniki \(\displaystyle{ t= \sqrt{3}}\) lub ewentualnie \(\displaystyle{ t= -\sqrt{3}}\)?

[DelCortez]

aha teraz rozumiem bo ja to innym sposobem robilem... bo podstawieniu t pod x liczylem delte i tak dalej...

-- 20 mar 2010, o 11:50 --

W tym ukladzie rownan liczylem i wyszlo mi cos takiego... Co teraz..?
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=3+a-b \\ W(2)=-6+4a+2b \end{cases}}\)

a w tym poprzednim przykaldzie mialo wyjsc?:
\(\displaystyle{ -(t^{2} -3)(t^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ -(x ^{2} -3)(x ^{2}+1)=(x+ \sqrt{3})(x- \sqrt{3})(x^{2}+1)}\)

[mat_61]

W tym ukladzie rownan liczylem i wyszlo mi cos takiego... Co teraz..?
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=3+a-b \\ W(2)=-6+4a+2b \end{cases}}\)

Teraz przyrównaj te wielomiany do zera (W(-1)=0 W(2)=0) i rozwiąż otrzymany układ równań

a w tym poprzednim przykaldzie mialo wyjsc?:
\(\displaystyle{ -(t^{2} -3)(t^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ -(x ^{2} -3)(x ^{2}+1)=(x+ \sqrt{3})(x- \sqrt{3})(x^{2}+1)}\)

Nie.
Miało być tak:

\(\displaystyle{ -(t -3)(t+1)}\)
\(\displaystyle{ -(x ^{2} -3)(x ^{2}+1)=-(x+ \sqrt{3})(x- \sqrt{3})(x^{2}+1)}\)