Witam wszystkich
Mam zrobic 3 trudne dla mnie rozklady. Mam nadzieje ze mi pomozecie
a)(a+b+c)�-a�-b�-c�=
odp ma byc: 3(a+b)(b+c)(a+c)
b) a�+b�+c�-3abc=
odp ma byc: (a+b+c)(a�+b�+c�-ab-ac-bc)
c) y�(z-x)-x�(z-y)+z�(x-y)
odp ma byc: (x-y)(z-y)(z-x)(z+x+y)
Chyba tyle
rozłóż na czynniki.....
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
rozłóż na czynniki.....
Zapis jest zrozumiały, ale jednak na przyszłość zapoznaj się z TeX-em.
a) Będe korzystał z wzorów skróconego mnożenia i zwykłych przekształceń arytmetycznych:
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3 -a^3 - b^3 -c^3=[(a+b+c)^3 -a^3 ] -[b^3 +c^3 ] = \\ (a+b+c-a)[ (a+b+c)^2 +a(a+b+c)+a^2 ] -(b+c)(b^2 -bc+c^2)= \\ (b+c)(a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca+a^2+ab+ac+a^2) -(b+c)(b^2 -bc+c^2)= \\ (b+c)(3a^2+b^2+c^2 +3ab+2bc+3ca -b^2 +bc-c^2)= \\(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)= (b+c)[(3a(a+b)+3c(a+b)]= \\(b+c)(a+b)(3a+3c)=3(a+b)(b+c)(c+a)}\)
b) Patrząc na to, do czego mamy dość można "wymyśleć" początek:
\(\displaystyle{ a^3 +b^3 +c^3 -3abc= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c)-(a^2 b+a^2 c +b^2 a+b^2 c+c^2 a +c^2 b+3abc)= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c)-(a^2 b+b^2 a+abc+ a^2 c+c^2a +abc+b^2 c+c^2b +abc)= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c)- [ ab(a+b+c)+ac(a+c+b)+bc(b+c+a)]= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c) -(a+b+c)(ab+ac+bc)= \\ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac -bc)}\)
c) Tutaj znów zwykłe przekształcenia:
\(\displaystyle{ y^3 ( z-x) -x^3 (z-y) +z^3( x-y)= y^3 z -y^3 x -x^3 z+x^3 y +z^3 ( x-y)= \\-x^3 z +y^3 z +x^3 y -y^3 x+z^3( x-y)=-z(x^3 -y^3) + xy(x^2 -y^2)+z^3(x-y)= \\ -z(x-y)(x^2 +xy+y^2)+ xy(x-y)(x+y)+z^3 (x-y)= \\ (x-y)[-z(x^2 +xy+y^2)+xy(x+y)+z^3]= \\ (x-y)(-x^2 z -xyz -y^z +x^2 y+xy^2 +z^3)= \\ (x-y)(z^3 -y^2 z -x^2 z +x^2 y -xyz +xy^2)= \\ (x-y)[z(z^2 - y^2) -x^2(z-y) -xy(z-y)]= \\ (x-y)[ z(z-y)(z+y) -x^2 (z-y) -xy(z-y)]=\\ (x-y)(z-y)[z(z+y) -x^2 -xy]= \\ (x-y)(z-y)(z^2 +yz-x^2 -xy)= \\ (x-y)(z-y)(z^2 -x^2 +yz-xy)= \\ (x-y)(z-y)[(z-x)(z+x)+y(z-x)]= (x-y)(z-y)(z-x)(z+x+y)}\)
a) Będe korzystał z wzorów skróconego mnożenia i zwykłych przekształceń arytmetycznych:
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3 -a^3 - b^3 -c^3=[(a+b+c)^3 -a^3 ] -[b^3 +c^3 ] = \\ (a+b+c-a)[ (a+b+c)^2 +a(a+b+c)+a^2 ] -(b+c)(b^2 -bc+c^2)= \\ (b+c)(a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca+a^2+ab+ac+a^2) -(b+c)(b^2 -bc+c^2)= \\ (b+c)(3a^2+b^2+c^2 +3ab+2bc+3ca -b^2 +bc-c^2)= \\(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)= (b+c)[(3a(a+b)+3c(a+b)]= \\(b+c)(a+b)(3a+3c)=3(a+b)(b+c)(c+a)}\)
b) Patrząc na to, do czego mamy dość można "wymyśleć" początek:
\(\displaystyle{ a^3 +b^3 +c^3 -3abc= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c)-(a^2 b+a^2 c +b^2 a+b^2 c+c^2 a +c^2 b+3abc)= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c)-(a^2 b+b^2 a+abc+ a^2 c+c^2a +abc+b^2 c+c^2b +abc)= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c)- [ ab(a+b+c)+ac(a+c+b)+bc(b+c+a)]= \\ (a^2+b^2 +c^2)(a+b+c) -(a+b+c)(ab+ac+bc)= \\ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac -bc)}\)
c) Tutaj znów zwykłe przekształcenia:
\(\displaystyle{ y^3 ( z-x) -x^3 (z-y) +z^3( x-y)= y^3 z -y^3 x -x^3 z+x^3 y +z^3 ( x-y)= \\-x^3 z +y^3 z +x^3 y -y^3 x+z^3( x-y)=-z(x^3 -y^3) + xy(x^2 -y^2)+z^3(x-y)= \\ -z(x-y)(x^2 +xy+y^2)+ xy(x-y)(x+y)+z^3 (x-y)= \\ (x-y)[-z(x^2 +xy+y^2)+xy(x+y)+z^3]= \\ (x-y)(-x^2 z -xyz -y^z +x^2 y+xy^2 +z^3)= \\ (x-y)(z^3 -y^2 z -x^2 z +x^2 y -xyz +xy^2)= \\ (x-y)[z(z^2 - y^2) -x^2(z-y) -xy(z-y)]= \\ (x-y)[ z(z-y)(z+y) -x^2 (z-y) -xy(z-y)]=\\ (x-y)(z-y)[z(z+y) -x^2 -xy]= \\ (x-y)(z-y)(z^2 +yz-x^2 -xy)= \\ (x-y)(z-y)(z^2 -x^2 +yz-xy)= \\ (x-y)(z-y)[(z-x)(z+x)+y(z-x)]= (x-y)(z-y)(z-x)(z+x+y)}\)