Rozwiązać równania:
\(\displaystyle{ x^{3}-6x+4=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-6x-9=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+18x-19=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-12x-16=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-3x-18=0}\)
\(\displaystyle{ x^{5}-3x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+x-3=0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-10x^{2}-20x-16=0}\)
\(\displaystyle{ x^{6}+9x^{4}-16x^{2}-144=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-5x^{2}-2x+24=0}\)
\(\displaystyle{ 4x^{3}-4x^{2}+x-1=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-6x-4=0}\)
\(\displaystyle{ 6x^{4}-83x^{3}+272x^{2}+76x-96=0}\)
rozwiązać równania - twierdzenie Bezout
-
iskierka19890
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 23 lis 2009, o 17:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
-
The River
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 6 lut 2010, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 3 razy
rozwiązać równania - twierdzenie Bezout
Przydało by się żebyś jeszcze napisał z czym dokładnie masz problem przy rozwiązaniu tych równań, no chyba że liczysz na to że ktoś to za ciebie policzy i podeśle ci wyniki.
Ale dobra, powiedzmy że nie wiesz jak się za to zabrać. A sądząc po poleceniu masz skorzystać z twierdzenia Bezouta, które w skrócie mówi że jeśli pewien wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny (inaczej dzieli się bez reszty) przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) to znaczy że \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
Weźmy przykład pierwszy z brzegu:
\(\displaystyle{ x ^{3}-6x+4=0}\)
Po lewej stronie nierówności mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}-6x+4}\)
Czyli chcąc rozwiązać to równanie musimy odpowiedzieć sobie na pytanie dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przyjmuje wartość zero, czyli inaczej mówiąc znaleźć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). A w poleceniu mamy dodatkowo podpowiedź żeby wykorzystać tw. Bezouta.
Na początek musimy mieć choć jeden pierwiastek tego wielomianu.
W tym celu możemy wykorzystać inne twierdzenie które mówi że pierwiastka wielomianu możemy szukać w zbiorze liczb \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie:
\(\displaystyle{ p}\) - dzielniki wyrazu wolnego
\(\displaystyle{ q}\) - dzielniki wsp. przy najwyższej potędze
A więc w naszym przypadku \(\displaystyle{ p \in \lbrace \ 1, -1, 2, -2, 4, -4 \rbrace}\)
\(\displaystyle{ q \in \lbrace1,-1\rbrace}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in \lbrace1, -1, 2, -2, 4, -4\rbrace}\)
Teraz musimy sprawdzić która z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
Liczymy więc \(\displaystyle{ W(1), W(-1), W(2), W(-2), W(4), W(-4)}\)
Jeśli otrzymamy zero to wtedy jesteśmy pewni że liczba ta jest pierwiastkiem wielomianu.
Licząc po kolei tak jak wypisałem przy \(\displaystyle{ W(2)}\) natrafiamy na pierwiastek wielomianu.
Czyli mamy nasze \(\displaystyle{ a=2}\)
Teraz wykorzystując tw. Bezouta dzielimy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}-6x+4}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}+2x-2}\)
Czyli możemy napisać: \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x^{2}+2x-2)}\)
A teraz już tylko rozwiązać równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}+2x-2}\) i mamy wszystkie trzy pierwiastki W(x) czyli tym samy rozwiązaliśmy interesujące nas równanie.
Myślę że do rozwiązania już bez problemu dojdziesz sam.
A resztę przykładów możesz zrobić w ten sam sposób, chyba że w niektórych przypadkach dostrzeżesz gdzieś możliwość pogrupowanie wyrazów podobnych to wtedy skrócisz sobie drogę dojścia do rozwiązania.
Ale dobra, powiedzmy że nie wiesz jak się za to zabrać. A sądząc po poleceniu masz skorzystać z twierdzenia Bezouta, które w skrócie mówi że jeśli pewien wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny (inaczej dzieli się bez reszty) przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) to znaczy że \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
Weźmy przykład pierwszy z brzegu:
\(\displaystyle{ x ^{3}-6x+4=0}\)
Po lewej stronie nierówności mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}-6x+4}\)
Czyli chcąc rozwiązać to równanie musimy odpowiedzieć sobie na pytanie dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przyjmuje wartość zero, czyli inaczej mówiąc znaleźć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). A w poleceniu mamy dodatkowo podpowiedź żeby wykorzystać tw. Bezouta.
Na początek musimy mieć choć jeden pierwiastek tego wielomianu.
W tym celu możemy wykorzystać inne twierdzenie które mówi że pierwiastka wielomianu możemy szukać w zbiorze liczb \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie:
\(\displaystyle{ p}\) - dzielniki wyrazu wolnego
\(\displaystyle{ q}\) - dzielniki wsp. przy najwyższej potędze
A więc w naszym przypadku \(\displaystyle{ p \in \lbrace \ 1, -1, 2, -2, 4, -4 \rbrace}\)
\(\displaystyle{ q \in \lbrace1,-1\rbrace}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in \lbrace1, -1, 2, -2, 4, -4\rbrace}\)
Teraz musimy sprawdzić która z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
Liczymy więc \(\displaystyle{ W(1), W(-1), W(2), W(-2), W(4), W(-4)}\)
Jeśli otrzymamy zero to wtedy jesteśmy pewni że liczba ta jest pierwiastkiem wielomianu.
Licząc po kolei tak jak wypisałem przy \(\displaystyle{ W(2)}\) natrafiamy na pierwiastek wielomianu.
Czyli mamy nasze \(\displaystyle{ a=2}\)
Teraz wykorzystując tw. Bezouta dzielimy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}-6x+4}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}+2x-2}\)
Czyli możemy napisać: \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x^{2}+2x-2)}\)
A teraz już tylko rozwiązać równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}+2x-2}\) i mamy wszystkie trzy pierwiastki W(x) czyli tym samy rozwiązaliśmy interesujące nas równanie.
Myślę że do rozwiązania już bez problemu dojdziesz sam.
A resztę przykładów możesz zrobić w ten sam sposób, chyba że w niektórych przypadkach dostrzeżesz gdzieś możliwość pogrupowanie wyrazów podobnych to wtedy skrócisz sobie drogę dojścia do rozwiązania.