Wzór dwumianowy Newtona

[Uran0s]

Pani kazała mi przygotować wzór dwumianowy Newtona. Jak dojść do tego wzoru ? Aby uzyskać wzór końcowy.

[Lady Tilly]

Ponieważ \(\displaystyle{ k=n-(n-k)}\)
więc:
\(\displaystyle{ {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}={n\choose n-k}}\)
Współczynniki dwumianowe \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) można znajdować z trójkąta Pascala

[juzef]

A tu nie chodzi przypadkiem o wzór \(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}}\)?

[alladyn]

Chodzi o dowód??

[Uran0s]

Chodzi mi o wzór \(\displaystyle{ (a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1} +{n\choose 2}a^{n-2}b^2 +.....+ {n\choose n-1}ab^{n-1} +{n\choose n}b^n}\)


Da sie jakoś dojść do tego wzoru ?

[alladyn]

Można sprawdzić że zachodzi on dla \(\displaystyle{ (a+b)^{1}}\) i dowieść przez indukcje matematyczną. wykorzystując po drodze wzór \(\displaystyle{ {n+1\choose k}={n\choose k}+{n\choose k-1}}\)
zakładamy że zachodzi dla \(\displaystyle{ (a+b)^{n}}\) mnożymy to przez\(\displaystyle{ (a+b)}\) i wychodzi nam \(\displaystyle{ a^{n+1}+({n\choose 0}+{n\choose 1})a^{n}b+...+({n\choose t-1}+{n\choose t})a^{n+1-t}b^{t}+...+b^{n+1}}\)
Można jeszcze mysleć inaczej ustawiajac wszystkie nawist kolo siebie,zamiast \(\displaystyle{ (a+b)^{n}}\) pisać \(\displaystyle{ (a+b)(a+b)(a+b)...(tak n razy)}\) i spytać na ile sposóbów może powstać wyraz \(\displaystyle{ a^{k}b^{n-k}}\) . Można wybrać k nawiasów z których w danym iloczynie(iloczynów o których mówie jest \(\displaystyle{ 2^{n}}\) wybierzemy a i w reszcie "wybierzemy"b czyli jest ich \(\displaystyle{ {n\choose k}}\)

[Uran0s]

Prosilbym jeszcze o pomoc w zadaniach :

1 Korzystając ze wzoru Newtona, wykaż prawdziwość wzoru :

a) \(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+....+{n\choose n-1}+{n\choose n}=2^n}\)

b) \(\displaystyle{ {n\choose 0}-{n\choose 1}+{n\choose 2}-....+(-1)^n{n\choose n}=0}\)

2 Znajdź liczby naturalne spełniające równanie:

a) \(\displaystyle{ {n+1\choose n-1}+{n\choose n-1}=81}\)

b) \(\displaystyle{ {n\choose 2}+7={n\choose n-1}}\)

3 Wyznacz wspólczynnik wielomianu w przy potędze \(\displaystyle{ x^9}\)

a) \(\displaystyle{ w(x)=(2x+1/4)^11}\)

b) \(\displaystyle{ w(x)=(1- sqrt{2x})^12}\)

[alladyn]

no co do 1 a)
tp korzystając z wyrażenia \(\displaystyle{ (1+1)^{n}}\) i rozpisując je zgodnie ze zoru dwumianowego otrzymujemy teze
b) to samo dla wzoru \(\displaystyle{ (1-1)^{n}}\)
w drugim mozna te symbole newtona uprościć
np \(\displaystyle{ {n+1\choose n-1}}\) bedzie równe \(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{(n-1)!2!}}\) a to po skróceniu \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\) i tak na ogół należy upraszczać w wyniku czego powtaja rónania wielomianowe (lub prostsze)