Udowodnić równość pierwiastków

[mydew]

Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^3 + px + q = 0}\), pierwiastkami są \(\displaystyle{ a,b,c}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ a^5 + b^5 + c^5 = 5pq}\). Na podstawie neta znalazłem, że \(\displaystyle{ (a+b+c)^5 - (a^5 + b^5 + c^5) = 5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)}\) i z tego łatwo oraz wzorów Viete'a już bardzo łatwo udowodnić. Ale jak do czegoś takiego dojść ? Jestem strasznie zbulwersowany, bo matematyczka dała to na sprawdzianie i ręczne wyliczanie odpadało (zbyt długo trwa i łatwo się pomylić). Może ktoś ma łatwiejszy sposób ?

[Qń]

Zauważmy, że ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ a+b+c=0}\). Skoro zaś \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pierwiastkami, to mamy równości:
\(\displaystyle{ a^3+pa+q=0 \\
b^3+pb+q=0 \\
c^3+pc+q=0}\)
Dodając je stronami dostaniemy:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+p(a+b+c)+3q=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=-3q}\)
Z tych samych trzech równości mamy też:
\(\displaystyle{ a^5+pa^3+qa^2=0 \\
b^5+pb^3+ qb^2=0 \\
c^5+pc^3+qc^2=0}\)
Po dodaniu stronami dostaniemy:
\(\displaystyle{ a^5+b^5+c^5 +p(a^3+b^3+c^3)+q(a^2+b^2+c^2)=0}\)
Uwzględniając fakt, że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2p}\) dostajemy stąd:
\(\displaystyle{ a^5+b^5+c^5 -3pq-2pq=0}\)
skąd od razu wynika teza.

Q.

[mydew]

Genialne. Szkoda, że na sprawdzianie tak niezrobiłem ;/