Wykazać, że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in N}\) i \(\displaystyle{ n > 2}\) wielomian \(\displaystyle{ W: R \rightarrow R}\) określony wzorem
\(\displaystyle{ W(x) = \left(x ^{n} - 1 \right)\left(x ^{n-1} - 1 \right)\left(x ^{n-2} - 1 \right)}\)
dzieli się bez reszty przez wielomian \(\displaystyle{ Q: R \rightarrow R}\) określony wzorem
\(\displaystyle{ Q(x) = \left(x - 1 \right)\left(x ^{2} - 1 \right)\left(x ^{3} - 1 \right)}\)
Wykaż, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian Q(x)
-
- Użytkownik
- Posty: 201
- Rejestracja: 6 gru 2009, o 14:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 24 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wykaż, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian Q(x)
Mamy \(\displaystyle{ q(x)=(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)}\). Zauważ, że każdy z czynników trzech czynników w wielomianie \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-1}\), gdyż w myśl twierdzenia Bezouta wartość każdego z tych trzech czynników dla \(\displaystyle{ x=1}\) jest równa zeru.
Dalej, dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych, pierwszy (i trzeci) czynnik wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przyjmuje wartość zero dla \(\displaystyle{ x=-1}\), więc wielomian \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x+1}\).
Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych powyższa podzielność także zachodzi, gdyż tym razem drugi czynnik wielomianu \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x+1}\).
Wreszcie, w postaci wielomianu \(\displaystyle{ W}\) istnieje czynnik podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\).
Istotnie, dla dowolnego \(\displaystyle{ n>2}\) wśród liczb \(\displaystyle{ n, n-1, n-2}\) istnieje (dokładnie jedna) liczba podzielna przez 3. Wystarczy teraz udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3k}-1}\) (który w myśl powyższej uwagi musi być jednym z czynników w postaci wielomianu \(\displaystyle{ W}\)) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) (prosty dowód indukcyjny).
Dalej, dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych, pierwszy (i trzeci) czynnik wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przyjmuje wartość zero dla \(\displaystyle{ x=-1}\), więc wielomian \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x+1}\).
Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych powyższa podzielność także zachodzi, gdyż tym razem drugi czynnik wielomianu \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x+1}\).
Wreszcie, w postaci wielomianu \(\displaystyle{ W}\) istnieje czynnik podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\).
Istotnie, dla dowolnego \(\displaystyle{ n>2}\) wśród liczb \(\displaystyle{ n, n-1, n-2}\) istnieje (dokładnie jedna) liczba podzielna przez 3. Wystarczy teraz udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3k}-1}\) (który w myśl powyższej uwagi musi być jednym z czynników w postaci wielomianu \(\displaystyle{ W}\)) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) (prosty dowód indukcyjny).
-
- Użytkownik
- Posty: 201
- Rejestracja: 6 gru 2009, o 14:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 24 razy