figura opisana równaniem z parametrem

[Paulina-Anna]

Dane jest równanie:

\(\displaystyle{ x(y+1)\cdot(x+y+y^2)+y^3+y^4=0}\)

Narysuj w układzie współrzędnych figurę opisaną danym równaniem i na podstawie otrzymanego wykresu określ liczbę rozwiązań danego równiania w zależności od
-parametru \(\displaystyle{ y}\), gdy \(\displaystyle{ x}\) jest niewiadomą,
-parametru \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ y}\) jest niewiadomą.

Po wymnożeniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x^{2} \left( y+1\right) + x \left( y^{3}+2y^{2}+y \right) +y^3+y^4 = 0}\)
lub
\(\displaystyle{ y^4+y^3 \left( x+1\right) + y^{2} \cdot 2x + y \left( x^{2} +x \right) = 0}\)

Nie wiem, co dalej robić. Proszę o pomoc lub jakieś wskazówki .

[lukasz1804]

Skoro \(\displaystyle{ x(y+1)\cdot(x+y+y^2)+y^3+y^4=0}\), to \(\displaystyle{ 0=(y+1)[x(x+y+y^2)+y^3]=(y+1)(x(x+y)+y^2(x+y)]=(y+1)(x+y)(x+y^2)}\). Zatem szukana figura jest sumą prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-1}\), prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-x}\) oraz paraboli \(\displaystyle{ x=-y^2}\) (którą można traktować jako sumę wykresów funkcji \(\displaystyle{ y=-\sqrt{-x}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\sqrt{-x}}\)).

[Paulina-Anna]

Bardzo, bardzo dziękuję