Oblicz najmniejszą wartosc wielomianu

karol123 · Post autor: **karol123** » 2 mar 2010, o 19:04

Oblicz najmniejszą wartosc wielomianu :
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10}\)

Dochodzę do postaci : \(\displaystyle{ [(x^2-5x)+4][(x^2-5x)+6]+10}\)
zmienną t podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2-5x+5}\)

więc mój wielomian ma postac :

\(\displaystyle{ W(x)=(t-1)(t+1)+10}\)

no i teraz nie wiem co zrobic..
wiem że wynik 9 jednak nie wiem skąd on się wziął..

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 2 mar 2010, o 19:21

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10=x^4-10 x^3+35 x^2-50 x+34\\
W'(x)=4x^{3}-30x^{2} + 70x-50\\
W'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{5}{2} \vee x = \frac{1}{2} (5-\sqrt{5}) \vee x = \frac{1}{2} (5+\sqrt{5})\\
W'(x)>0 \Leftrightarrow x \in \left(\frac{1}{2} (5-\sqrt{5}); \frac{5}{2}\right) \cup \left( \frac{1}{2} (5+\sqrt{5});+\infty\right) \Rightarrow \\
W_{min}=W \left(\frac{1}{2} (5-\sqrt{5}) \right )}\)

karol123 · Post autor: **karol123** » 2 mar 2010, o 19:39

To jest odp ? Ja mam 9.. Rozumiem tylko do momentu aż wyliczasz pochodną..

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 2 mar 2010, o 19:46

Zgadza się:
\(\displaystyle{ W_{min}=W \left(\frac{1}{2} (5-\sqrt{5}) \right )=9}\)

karol123 · Post autor: **karol123** » 2 mar 2010, o 20:02

Zna ktoś jeszcze jakaś przyjemniejszą metodę ?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 2 mar 2010, o 20:12

karol123 pisze: więc mój wielomian ma postac :

\(\displaystyle{ W(x)=(t-1)(t+1)+10}\)

no i teraz nie wiem co zrobic..

\(\displaystyle{ W(x)=(t-1)(t+1)+10=t^{2}+9\\
W_{min}=9}\)

karol123 · Post autor: **karol123** » 2 mar 2010, o 20:18

Skąd Ci to wyszło ?:D

dochodzę do tej postaci tzn

\(\displaystyle{ W(x)=t^2+9}\)

łopatologicznie

przecież ani nie zrobiłeś pochodną ani z wierzchołka funkcji..
co zrobiłeś z \(\displaystyle{ t^2}\)?

chrzanu · Post autor: **chrzanu** » 2 mar 2010, o 20:21

Kwadrat liczby \(\displaystyle{ t}\) przyjmuje zawsze wartości \(\displaystyle{ \ge 0}\), czyli przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ t=0}\), a wtedy \(\displaystyle{ W(0)=9}\)

Jak chcesz zrozumieć, to narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ y=x ^{2} +9}\) i zoabcz jaka jest najmniejsza wartosc funkcji

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 2 mar 2010, o 20:22

Najmniejszą wartość jaką może przyjąć \(\displaystyle{ t^{2}}\) to zero. A jaką najmniejszą wartość może przyjąć wyrażenie \(\displaystyle{ t^{2}+9}\)?

karol123 · Post autor: **karol123** » 2 mar 2010, o 20:25

Dzięki. Zadanie zrozumiałem ;]