Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Mariush
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 lut 2010, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 16°04'E

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: Mariush »

Witajcie!

Mam problem z pewnym zadaniem, liczę na pomoc i z góry dziękuję.

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-4x-4=0}\)

Ja zacząłem metodą grupowania i wyszło mi takie coś:
\(\displaystyle{ x^{4}(x+1)-3x^{2}(x+1)-4(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(x^{4}-3x^{2}-4)=0}\)

Stąd wiadomo że pierwszym pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ -1}\), nie wiem co zrobić z \(\displaystyle{ (x^{4}-3x^{2}-4)}\). W odpowiedziach w książce pisze że rozwiązaniem są jeszcze liczby \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\) ale ja nie wiem jak to obliczyć.

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
emelcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 15 lis 2009, o 11:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 14 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: emelcia »

2 i -2, ponieważ są to dzielniki wyrazu wolnego, czyli 4
Mariush
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 lut 2010, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 16°04'E

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: Mariush »

Racja ale tak samo jak i \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ -4}\) które nie są rozwiązaniem tego równania.
PMichalak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 29 paź 2009, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kalisz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 16 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: PMichalak »

Można zrobić ulubioną sztuczkę licealistów
\(\displaystyle{ t = x^{2}, t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 3t - 4 = 0}\)
A później delta i do postaci czynnikowej.
Mariush
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 lut 2010, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 16°04'E

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: Mariush »

Dzięki PMichalak za pomoc ale nie wiem kompletnie o czym piszesz . Ograniczmy się do mojego programu szkolnego do matury podstawowej czyli wg książki rozkład wielomianu na czynniki, wzory skróconego mnożenia, dzielenie wielomianów i twierdzenie Bezouta powinny mi wystarczyć aby rozwiązać to zadanie.
del1071
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 22 lut 2010, o 10:20
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 17 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: del1071 »

\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-4x-4=0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x^{4}-3x^{2}-4)=0}\)

Stosując wspomniane wyżej podstawienie rozkładamy wielomian \(\displaystyle{ x^{4}-3x^{2}-4}\) na czynniki.

\(\displaystyle{ x^{4}-3x^{2}-4=(x-2)(x+2)(x^2+1)}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ (x+1)(x-2)(x+2)(x^2+1)=0}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe, stopnia piątego.

Post autor: piasek101 »

Mariush pisze:Dzięki PMichalak za pomoc ale nie wiem kompletnie o czym piszesz :roll: . Ograniczmy się do mojego programu szkolnego do matury podstawowej czyli wg książki rozkład wielomianu na czynniki, wzory skróconego mnożenia, dzielenie wielomianów i twierdzenie Bezouta powinny mi wystarczyć aby rozwiązać to zadanie. :wink:
Na podstawowej nie ma (w wymaganiach) dzielenia ani Bezout'a.
ODPOWIEDZ