wyznacz parametry p i q

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Wyznacz parmetry p i q, dla których liczba \(\displaystyle{ x_0}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania.

\(\displaystyle{ x^3-2x^2+px+q=0}\)

\(\displaystyle{ x_0=1}\)

dziękuję

[osa]

czyli nasze równanie da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (x-1)^2\cdot (x-x_1)}\)

proponuję ci podzielić (normalnie w słupku) równanie przez \(\displaystyle{ x^2-2x+1}\)

i sprawdzić dla jakich p, q reszta wyniesie 0.

[celia11]

\(\displaystyle{ (x-1)^2\cdot (x-x_1)}\)

ale skad ten zapis? dlaczego taki?

szczególnie ten fragment:

\(\displaystyle{ \cdot (x-x_1)}\)

?
dziękuję

[osa]

zauważ, że jeżeli jakieś równanie wielomianowe (takie jak twoje) ma np. 3 pierwiastki (rozwiązania) to umiemy je zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\) to wynika choćby z tw. Beuzout. Równanie oczywiście nie musi mieć tylu pierwiastków. Może się okazać, że np równanie kwadratowe, czyli takie w którym najwyższa potęga przy x wynosi 2, może mieć 0 lub 2 pierwiastki. Ale równanie trzeciego stopnia (jak twoje) nie może mieć 0 pierwiastków, ani 2 pierwiastków. Może mieć tylko 1 albo 3. Oczywiście pierwiastki n-krotne należy liczyć jako n pierwiastków żeby to działało. Czyli Twoje równanie ma 2 pierwiastki, bo ma pierwiastek dwukrotny. No to musi mieć też trzeci i to jest właśnie \(\displaystyle{ x_1}\).

A swoją drogą właśnie wpadłem na wygodniejsze chyba rozwiązanie. Zastosuj wzory Viete'a

tzn dla
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\) takiego że istnieją 3 pierwiastki zachodzą równości:
\(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3=\frac{-d}{a}}\)
\(\displaystyle{ x_1 x_2 +x_2 x_3 + x_3 x_1=\frac{c}{a}}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}}\)

przy czym \(\displaystyle{ x_1=x_2=1}\)

[celia11]

a w takim przypadku:

Wyznacz parmetry p i q, dla których liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem równania.

\(\displaystyle{ x^3+px^2+qx-2=0}\)

\(\displaystyle{ x_0=-1}\)

dziekuje

-- 28 lut 2010, o 08:53 --

juz policzyłam ze wzorów Viete'a, dziekuję