Ilosc rozwiazan

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Patrykm1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 wrz 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy

Ilosc rozwiazan

Post autor: Patrykm1992 »

Dwa różne wielomiany \(\displaystyle{ f(x)= x^{2} +ax+b}\) i \(\displaystyle{ g(x)= x^{2} +cx+d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ f(19)+f(98)=g(19)+g(98)}\). Ile rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)?
del1071
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 22 lut 2010, o 10:20
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 17 razy

Ilosc rozwiazan

Post autor: del1071 »

\(\displaystyle{ f(19)+f(98)=g(19)+g(98)}\)

\(\displaystyle{ 19^2+19a+b+98^2+98a+b=19^2+19c+d+98^2+98c+d}\)

\(\displaystyle{ 117a+2b=117c+2d}\)

\(\displaystyle{ 117(a-c)=2(d-b)}\)

\(\displaystyle{ \frac{117}{2}(a-c)=d-b}\) (1)


\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)

\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)

\(\displaystyle{ x(a-c)=d-b}\) (2)


Wstawiając (1) do (2):

\(\displaystyle{ x(a-c)=\frac{117}{2}(a-c)}\)

\(\displaystyle{ (x-\frac{117}{2})(a-c)=0}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{117}{2} \vee a=c}\)

Gdy \(\displaystyle{ a=c}\), wtedy \(\displaystyle{ b=d}\).


\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)

\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)

\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+ax+b}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

Równanie tożsamościowe.
TheBill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2372
Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 245 razy

Ilosc rozwiazan

Post autor: TheBill »

del1071 pisze:Gdy \(\displaystyle{ a=c}\), wtedy \(\displaystyle{ b=d}\).


\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)

\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)

\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+ax+b}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

Równanie tożsamościowe.
Nie bardzo kumam rozwiązanie, a co gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) ?
del1071
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 22 lut 2010, o 10:20
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 17 razy

Ilosc rozwiazan

Post autor: del1071 »

Gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\), można podzielić obie strony równania \(\displaystyle{ x(a-c)=\frac{117}{2}(a-c)}\) przez \(\displaystyle{ a-c}\).

Wtedy \(\displaystyle{ x=\frac{117}{2}}\).
TheBill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2372
Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 245 razy

Ilosc rozwiazan

Post autor: TheBill »

Czyli odpowiedzią jest:
"Gdy \(\displaystyle{ a=c}\) równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (do tego też doszedłem ), gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) jedno rozwiązanie." ?

Mogłoby się wydawać, że te parabole (o takim samym współczynniku "a") mogą mieć jeszcze zero punktów wspólnych (czyli zero rozwiązań tej równości), ale najprawdopodobniej podany w treści warunek odrzuca taką możliwość. Zgadza sie?
del1071
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 22 lut 2010, o 10:20
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 17 razy

Ilosc rozwiazan

Post autor: del1071 »

TheBill pisze:Czyli odpowiedzią jest:
"Gdy \(\displaystyle{ a=c}\) równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (do tego też doszedłem ), gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) jedno rozwiązanie." ?
Tak.
TheBill pisze:Mogłoby się wydawać, że te parabole (o takim samym współczynniku "a") mogą mieć jeszcze zero punktów wspólnych (czyli zero rozwiązań tej równości), ale najprawdopodobniej podany w treści warunek odrzuca taką możliwość. Zgadza sie?
Tak sądzę.
ODPOWIEDZ