Rownanie 4-tego stopnia z parametrem

[Krycho]

Mam takie rownanie

\(\displaystyle{ (m-2)x^4-2(m+3)x^2+m-1=0}\)

Dla jakich wartosci parametru m to rownanie ma 4 rozne pierwiastki. Zbadaj ilosc pierwiastkow z zaleznosci od parametru m i narysuj wykres funkcji f(m). Wiec zaczalem tak

\(\displaystyle{ x^2=t\\
\\
(m-2)t^2-2(m+3)t+m-1=0\\
\\
\hbox {1. 4 pierwiastki}\\ \\
\begin {cases}
\Delta > 0\\
m-2\neq 0\\
\frac {-(m+3)} {m-2}>0\\
\frac {m-1} {m-2} > 0
\end {cases}
\\ \\
\\ \hbox {2. 3 pierwiastki}\\ \\
\begin {cases}
\Delta > 0\\
m-2\neq 0\\
\frac {-(m+3)} {m-2}>0\\
\frac {m-1} {m-2} = 0
\end {cases}
\\ \\
\\ \hbox {3. 2 pierwiastki}\\ \\
\begin {cases}
\Delta = 0\\
m-2\neq 0\\
\frac {-(m+3)} {m-2}>0\\
\frac {m-1} {m-2} > 0
\end {cases}
\\ \\
\\ \hbox {4. 1 pierwiastek}\\ \\
\begin {cases}
\Delta = 0\\
m-2\neq 0\\
\frac {-(m+3)} {m-2}>0\\
\frac {m-1} {m-2} = 0
\end {cases}}\)

Oczywiscie potem liczylem czesc wspolna itd. Chodzi mi czy zalozenia sa dobre. Wydaje mi sie ze jeszcze dla 2 pierwiastkow bedzie zalozenie, kiedy \(\displaystyle{ m-2=0}\) bo wtedy zredukuje mi sie do postaci liniowej i bede mial 2 pierwiastki tez.

Obliczenia wszystkie mam tylko pisanie tego za duzo by zajelo, dlatego chce sie dowiedziec czy zalozenia sa dobre bo dalej to juz latwo jest.

[rodzyn7773]

Wszędzie źle zapisujesz wzór na sumę pierwiastków równania kwadratowego. Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{2(m+3)}{m-2}}\).
Dla dwóch pierwiastków istnieje jeszcze jeden przypadek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ m-2 \neq 0 \\ \frac{m-1}{m-2} <0 \end{cases}}\)

Dla jednego pierwiastka istnieje również jeszcze jeden przypadek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ m-2 \neq 0 \\ \frac{2(m+3)}{m-2)}<0 \\ \frac{m-1}{m-2} =0 \end{cases}}\)

Równanie czwartego stopnia może również nie mieć pierwiastków wtedy kiedy równanie kwadratowe spełnia warunki:
1.\(\displaystyle{ \Delta<0}\)

2.\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0 \\ \frac{m+3}{m-2}<0 \end{cases}}\)

3. \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ \frac{2(m+3)}{m-2}<0 \\ \frac{m-1}{m-2}>0 \end{cases}}\)

Po za tym trzeba zbadać ile rozwiązań będzie miało to równanie dla \(\displaystyle{ m=2}\)

[Krycho]

Wiem ze zle wzory vieta uzywalem(znaczy dobrze ale zapomnialem o tej -2), ale to w rownaniu zmienie sobie zeby nie musiec od nowa wszystkiego pisac.

Dla m=2 sa 2 rozwiazania, juz sprawdzalem.

Dla 0 pierwiastkow tez zapisalem warunki ale zapomnialem je tutaj przepisac.

Jeszcze dla 1 pierwiastka zanalazlem przypadek

\(\displaystyle{ \begin {cases}
\Delta > 0\\
\frac {-m-3} {m-2}<0\\
\frac {m-1} {m-2}=0
\end {cases}}\)