warunek na trzy pierwiastki

[bzyk12]

Wykaż, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ x ^{3}+ax ^{2}+bx+c=0}\) ma trzy pierwiastki x1, x2, x3 to \(\displaystyle{ a ^{2} \ge 3b}\)

[matshadow]

Ze wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-a\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=b}\)
Zatem udowodnijmy, że \(\displaystyle{ a^2\ge 3b}\)
\(\displaystyle{ (x_1+x_2+x_3)^2\ge 3(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)\\x_1^2+x_2^2+x_3^2\ge x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\;/\cdot 2\\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)+(x_2^2-2x_2x_3+x_3^2)+(x_3^2-2x_1x_3+x_1^2)\ge 0\\(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2\ge 0}\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa