Proszę o pomoc w dwóch zadaniach.
Zad. 1.
Uzasadnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{2011}-x+1}\) ma co najwyżej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Zad. 2.
Uzasadnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{60}-1}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}+x+1}\).
Podzielność i pierwiastek wielomianu
-
pe2de2
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 49 razy
Podzielność i pierwiastek wielomianu
co do zadania 2.
nie takie to proste, chyba ze się użyje odpowiedniego oprogramowania
jeżeli jeden wielomian dzieli drugi to znaczy że mają wspólne miejsca zerowe.
miejsca zerowe równania \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) to :
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)}}\)
oraz
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)}}\)
są one sprzężone czyli jeżeli zeruje się dla jednego to będzie się również zerować dla drugiego.
rzeczywiście
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)})^{60}=((-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)})^{3})^{20}=1}\)
więc się zgadza. pytanie sie tylko pojawia czy da sie to jakoś uzasadnić bez użycia komputera, a najlepiej kalkulatora, bo ręczne dzielenie też jakimś super pomysłem nie jest, choć oczywiśćie można.-- 23 lutego 2010, 18:50 --co do zadania 1.
nie byłbym taki pewnien czy ma nawet ten jeden pierwiastek rzeczywisty, na pewno dobrze przepisane ?
nie takie to proste, chyba ze się użyje odpowiedniego oprogramowania
jeżeli jeden wielomian dzieli drugi to znaczy że mają wspólne miejsca zerowe.
miejsca zerowe równania \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) to :
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)}}\)
oraz
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)}}\)
są one sprzężone czyli jeżeli zeruje się dla jednego to będzie się również zerować dla drugiego.
rzeczywiście
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)})^{60}=((-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdoti\cdot3^{(1/2)})^{3})^{20}=1}\)
więc się zgadza. pytanie sie tylko pojawia czy da sie to jakoś uzasadnić bez użycia komputera, a najlepiej kalkulatora, bo ręczne dzielenie też jakimś super pomysłem nie jest, choć oczywiśćie można.-- 23 lutego 2010, 18:50 --co do zadania 1.
nie byłbym taki pewnien czy ma nawet ten jeden pierwiastek rzeczywisty, na pewno dobrze przepisane ?
Podzielność i pierwiastek wielomianu
W zadaniu drugim koniecznie trzeba się odwołać do liczb zespolonych? To zadanie z poziomu liceum...
Odnośnie zadania pierwszego. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Wynika to z twierdzenia:
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.
Pytanie, jak uzasadnić, że istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty?
Odnośnie zadania pierwszego. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Wynika to z twierdzenia:
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.
Pytanie, jak uzasadnić, że istnieje tylko jeden pierwiastek rzeczywisty?