podzielność wielomianu

[yoana91]

a) oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ 2x ^{4}+4x ^{3} +ax ^{2}+bx+2}\) przez dwumian x-1 wiedząc, że trójmian \(\displaystyle{ ax ^{2}+bx+2}\) przyjmuje dla x=3 wartość największą równą 11.

b) Wiedząc, że wielomian \(\displaystyle{ 2x ^{4}+4x ^{3}+kx ^{2} +mx+2}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x ^{2}+x-2}\), oblicz sumę odwrotności wszystkiech jego pierwiastków.

[krystianx]

a)
\(\displaystyle{ f(x)=a \left( (x-3)^{2}\right+11)=a(x^{2}-6x+9)+11 \\
b=-6a \\
ax^{2}-6ax+2=a(x^{2}-6x+9}+11 \\
9a+11=2 \\
a=-1 \\
b=6 \\
f(x)=-x^{2}+6x+2 \\
W(x)=2x^{4}+4x^{3}-x^{2}+6x+2 \\
W(1)=2+4-1+6+2=13}\)

[yoana91]

mogę prosić o wyjaśnienia? skąd wzięło się pierwsze równanie?

-- 23 lut 2010, o 11:34 --

już wiem, dziękuję-- 23 lut 2010, o 12:25 --b) \(\displaystyle{ W(x)=2x^4+4x^3+kx^2+mx+2}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)}\)

podstawiając pierwiastki liczę m i k

\(\displaystyle{ W(1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=0}\)
m=-5
k=-3

\(\displaystyle{ W(x)=2x^4+4x^3=3x^2-5x+2}\)

Podzieliłam dany wielomian żeby wyszły pierwiastki
x=1
x=-2
\(\displaystyle{ x= \frac{-1+ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-1- \sqrt{3} }{2}}\)

Czy sumą odwrotności będzie wtedy:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}+1+ \frac{2}{-1- \sqrt{3} }+ \frac{2}{-1+ \sqrt{3} } = \frac{3}{2}}\)

bardzo proszę o sprawdzenie