wielomian z parametrem

[yoana91]

Dla jakich całkowitych wartości współczynników a i b liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=3x ^{3}+ax ^{2}+bx+12}\)? Dla wyznaczonych wartości parametrów a i b, oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu \(\displaystyle{ [W(x)] ^{20}}\).

[Crizz]

\(\displaystyle{ W(1+\sqrt{3})=3(1+\sqrt{3})^{3}+a(1+\sqrt{3})^{2}+b(1+\sqrt{3})+12= \\ =3(1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3})+a(1+2\sqrt{3}+3)+12= a(2\sqrt{3}+4)+b(\sqrt{3}+1)+18\sqrt{3}+42}\)

Ma zachodzić:
\(\displaystyle{ a(2\sqrt{3}+4)+b(\sqrt{3}+1)+18\sqrt{3}+42=0}\)
\(\displaystyle{ 2a\sqrt{3}+4a+b\sqrt{3}+b+18\sqrt{3}+42=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}(2a+b+18)+(4a+b+42)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+b+18=0 \\ 4a+b+42=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a=-12 \wedge b=6}\)

\(\displaystyle{ W(x)= 3x^{3}-12x^{2}+6x+12}\)
Niech \(\displaystyle{ P(x)=(W(x))^{20}=(3x^{3}-12x^{2}+6x+12)^{20}}\)
Wówczas suma współczynników wielomianu P wynosi \(\displaystyle{ P(1)=(3-12+6+12)^{20}=9^{20}}\)