Zapisz jako iloczyn - problem

interfan23 · Post autor: **interfan23** » 22 lut 2010, o 21:24

Witam,
spotkałem się ostatnio z zadaniem, gdzie korzystając z wzorów skróconego mnożenia muszę zapisać sumę jako iloczyn. Jeden przykład sprawia mi problem i nie wiem jak to rozwiązać. Czy znajdzie się jakaś dobra duszyczka i poradzi co mam zrobić ?

Oto przykład :

\(\displaystyle{ x^{8}+x^{4}+1}\)

Z góry dzięki

matshadow · Post autor: **matshadow** » 22 lut 2010, o 21:33

dodaj i odejmij \(\displaystyle{ x^4}\) i szukaj różnicy kwadratów
i zauważ, że \(\displaystyle{ x^8=(x^4)^2}\)

osa · Post autor: **osa** » 22 lut 2010, o 21:33

Ja bym to zrobił tak: (ino nie ze wzorów skróconego mnożenia)
niech \(\displaystyle{ t=x^4}\) wtedy \(\displaystyle{ t^2=x^8}\) zamieniasz
\(\displaystyle{ x^{8}+x^{4}+1}\) na \(\displaystyle{ t^2+t+1}\) znajdujesz pierwiastki \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) i \(\displaystyle{ t^2+t+1=(t-t_1)(t-t_2)}\) zamieniasz spowrotem na język iksów i masz
pozdro

matshadow · Post autor: **matshadow** » 22 lut 2010, o 21:35

brawo - szukasz pierwiastków w równaniu kwadratowym, w którym delta jest ujemna

osa · Post autor: **osa** » 22 lut 2010, o 21:44

matshadow pisze:brawo - szukasz pierwiastków w równaniu kwadratowym, w którym delta jest ujemna

Zakład że znajde?
Proszę, oto one:

\(\displaystyle{ t_1=- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i;t_2=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i}\)

A tak serio to fakt, wygłupiłem się

interfan23 · Post autor: **interfan23** » 22 lut 2010, o 21:52

Dodaj i odejmij \(\displaystyle{ x^{4}}\) co mam przez to rozumieć ? ; >

osa · Post autor: **osa** » 22 lut 2010, o 21:55

już piszę \(\displaystyle{ x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4=(x^4+1)^2-(x^2)^2}\) i teraz z różnicy kwadratów

interfan23 · Post autor: **interfan23** » 22 lut 2010, o 22:13

Już widzę, wielkie dzięki
Ale z tego co wiem, to można każde wyrażenie doprowadzić do postaci, gdzie najwyższą potęgą jest 2.
Z tego wychodzi mi : \(\displaystyle{ \left( x ^{4}+1- x^{2} \right) \left( x^{4}+1+x ^{2} \right)}\)
Ok już mam :
\(\displaystyle{ \left[ \left( x ^{2}+1- \sqrt{2}x \right) \left(x ^{2}+1+ \sqrt{2}x \right) -x ^{2} \right] \left[ \left( x ^{2}+1- \sqrt{2}x \right) \left(x ^{2}+1+ \sqrt{2}x \right)+x ^{2} \right]}\)