Dla jakich wartości parametru układ ma tylko 1 rozwiązanie?

[matio_turbo]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+3)^2+(y-2)^2=2 \\ (y-x-3)(y+x-k)=0 \end{cases}}\)
ma tylko jedno rozwiązanie?

[Crizz]

Drugie równanie przedstawia parę prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej, a mianowicie proste \(\displaystyle{ y-x-3=0}\) oraz \(\displaystyle{ y+x-k=0}\).

Sprawdź, że układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=2 \\ y-x-3=0 \end{cases}}\)
czyli równanie:
\(\displaystyle{ (x+3)^{2}+((x+3)-2)^{2}=2}\)
ma już jedno rozwiązanie.

Skoro niezależnie od parametru k zawsze istnieje to rozwiązanie, to okrąg nie może mieć punktów wspólnych z drugą prostą (chyba, ze ta druga prosta byłaby styczna do okręgu w tym samym punkcie, co pierwsza; to jednak nie jest możliwe, bo te dwie roste są zawsze prostopadłe).

Musisz znaleźć takie k, dla którego układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=2 \\ y+x-k=0 \end{cases}}\)
czyli równanie
\(\displaystyle{ (x+3)^{2}+((k-x)-2)^{2}=2}\)
nie ma rozwiązań (czyli takie k, dla którego wyróżnik tego równania jest ujemny).