Równanie z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
SirMyxir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 19 sie 2009, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Równanie z parametrem

Post autor: SirMyxir »

Wiem jak sie takie coś robi ale kurcze to zadanie wybitnie mi nie może przejść.
Dla jakich wartości parametru m równanie\(\displaystyle{ mx^{3}−- (2m + 1)x ^{2} + (2−-3m)x = 0}\) ma rozwiązania, których suma jest dodatnia? Delta ujemna i koniec myślenia tylko przypadek liniowy zrobie ale odpowiedzi są całkiem inne.

Czy przypadkiem jak delta m bedzie ujemna to dla x bedzie zawsze dodatnia i będą te miejsca
wiola_honey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 1 gru 2008, o 17:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kędzierzyn Koźle

Równanie z parametrem

Post autor: wiola_honey »

a mógłbyś podać jakie jest rozwiązanie?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Równanie z parametrem

Post autor: tometomek91 »

Dla \(\displaystyle{ m=0}\) mamy:
\(\displaystyle{ x ^{2} + 2x = 0}\)
Pierwiastkami w/w równania są liczby \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -2}\). Ich suma jest liczbą ujemną, więc \(\displaystyle{ m \neq 0}\), wtedy równanie
\(\displaystyle{ mx^{3}- (2m + 1)x ^{2} + (2-3m)x = 0}\)
które jest równaoważne z:
\(\displaystyle{ x(mx^{2}-(2m + 1)x + 2-3m) = 0}\)
ma widoczny gołym okiem pierwiastek zero. Zatem żeby miało rozwiązania, których suma jest dodatnia, to pierwiastki wielomianu w nawiasie muszą spełniać warunek:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0}\)
Korzystamy ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}>0 \Rightarrow \\
\frac{2m + 1}{m}>0 \Leftrightarrow m(2m+1)>0}\)

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb \(\displaystyle{ m \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; +\infty)}\).
Teraz pozostało jeszcze sprawdzić, dla których z nich delta równania \(\displaystyle{ mx^{2}-(2m + 1)x + 2-3m=0}\) jest większa lub równa zero:
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \Rightarrow 16m^{2}-4m+1=(4m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}}\), więc rozwiązaniem jest zbiór:
\(\displaystyle{ m \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; +\infty)}\).
ODPOWIEDZ