liczba pierwiastków, parametr

[wiola_honey]

Zbadaj liczbę pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^{4}+(1-3m)x^{2}+2m^{2}-2m=0}\) w zależności od parametru m.

wiem, jak by to robić gdyby było rownanie kwadratowe wtedy było by to zależne od delty, natomiast tutaj nawet jak zastąpię powiedzmy \(\displaystyle{ x^{2}=w}\) to i tak nie wychodzi mi dobry wynik bardzo proszę o pomoc

[rodzyn7773]

Dobrze kombinujesz z podstawieniem więc podstawmy:
\(\displaystyle{ w=x^2 \wedge w \ge 0}\)
Otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ w^{2}+(1-3m)w+2m^{2}-2m=0}\)
Równanie ze zmienną x nie będzie miało rozwiązania jeżeli równanie ze zmienną w nie będzie miało rozwiązania lub będzie miało 1 rozwiązanie ujemne lub będzie miało 2 rozwiązania ujemne:
I \(\displaystyle{ \Delta_w<0}\)
II \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_w=0 \\ w_w<0 \end{cases}}\)
III \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ w_1*w_2>0 \\ w_1+w_2<0 \end{cases}}\)

Teraz zastanówmy się kiedy równanie ze zmienną x będzie miało 1 rozwiązanie. Otóż jest tylko jeden przypadek - tylko wtedy kiedy równanie ze zmienną w ma jedno rozwiązanie, które jest 0:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_w=0\\ w_w=0 \end{cases}}\)

2 rozwiązania:
Równanie ze zmienną w ma jedno rozwiązanie dodatnie lub dwa rozwiązania przeciwnych znaków:
I \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_w=0 \\ w_w>0 \end{cases}}\)
II \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_w>0 \\ w_1*w_2<0 \end{cases}}\)

3 rozwiązania:
Równanie ze zmienną w ma dwa rozwiązania przy czym jedno jest zerem drugie jest dodatniej wartości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_w>0 \\ w_1*w_2=0 \\ w_1+w_2>0 \end{cases}}\)

4 rozwiązania:
Równanie ze zmienną w ma 2 rozwiązania dodatnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_w>0 \\ w_1*w_2>0 \\ w_1+w_2>0 \end{cases}}\)

Wszystko. Oczywiście przy liczeniu sumy bądź iloczynu pierwiastków korzystasz ze wzorów Vieta.

PS (\(\displaystyle{ w_w}\) - pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, \(\displaystyle{ w_1;w_2}\) - pierwiastki równania)

[tometomek91]

\(\displaystyle{ x^{4}+(1-3m)x^{2}+2m^{2}-2m=0\\
x^{2}=w; \ w \ge 0\\
w^{2}+(1-3m)w+2m^{2}-2m=0\\
\text {ma 4 rozwiązania dla każdego m spełniającego układ równań:}\\
\begin{cases} \Delta>0 \\ w_{1}+w_{2}>0 \\ w_{1}w_{2}>0 \end{cases}\\
\text {3, gdy:}\\
\begin{cases} \Delta>0 \\ w_{1}+w_{2}>0\\ w_{1}w_{2}=0 \end{cases}\\
\text {2:}\\
\begin{cases} \Delta=0 \\ w_{0}>0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta>0 \\ w_{1}w_{2}<0 \end{cases}\\
\text {i jedno dla:}\\
\begin{cases} \Delta>0 \\ w_{1}+w_{2}<0 \\ w_{1}w_{2}=0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta=0 \\ w_{0}=0 \end{cases} \\
\text {zero rozwiązań:}\\
\begin{cases} \Delta>0 \\ w_{1}+w_{2}<0 \\ w_{1}w_{2}>0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta=0 \\ w_{0}<0 \end{cases} \vee \Delta<0}\)

Teraz zastanówmy się kiedy równanie ze zmienną x będzie miało 1 rozwiązanie. Otóż jest tylko jeden przypadek

Wg mnie jest więcej niż jeden przypadek.

[wiola_honey]

Bardzo dziękuję! Wszystko po wyliczeniach zgadza się z odpowiedziami

[rodzyn7773]

A tak zapomniałem o takim. Dzięki za uwagę.