równanie z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
marek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 696
Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: marki
Podziękował: 165 razy
Pomógł: 20 razy

równanie z parametrem

Post autor: marek12 »

Znajdz wszystkie takie \(\displaystyle{ h}\) zeby równanie \(\displaystyle{ x^4 + (h - 1)x^3 + x^2 + (h - 1)x + 1 = 0}\) posiadało nie mniej niż dwa różne ujemne pierwiastki
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

równanie z parametrem

Post autor: xanowron »

Jest to równanie "zwrotne".
Zauważ, że zero nie jest pierwiastkiem tego równania więc można je podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\)

Po uporządkowaniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}+(h-1)(x+\frac{1}{x})+1=0}\)

Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)
Zatem \(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=t^2-2}\)

Czyli równanie ma postać

\(\displaystyle{ t^2-2+(h-1)t+1=0 \Leftrightarrow t^2+(h-1)t-1=0}\)

Teraz powinno być już łatwiej, ale jak coś to pytaj (pamiętaj o podstawieniu i o tym, że chodzi o pierwiastki równania wyjściowego)
ODPOWIEDZ