pierwiastki wielomianu- zakres rozszerzony

wiola_honey · Post autor: **wiola_honey** » 20 lut 2010, o 14:58

Dany jest wielomian postaci :

\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+6r}\) gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego, którego pierwsze 3 wyrazy są pierwiastkami tego wielomianu. Drugi wyraz tego ciągu jest równy 2. Oblicz pierwiastki wielomianu.

fivi91 · Post autor: **fivi91** » 20 lut 2010, o 15:01

tam na pewno jest dwa razy bx+6r?

wiola_honey · Post autor: **wiola_honey** » 20 lut 2010, o 15:03

nie, dzięki już poprawiłam

fivi91 · Post autor: **fivi91** » 20 lut 2010, o 15:16

k, k+r, k+2r - pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego. Są one pierwiastkami tego wielomianu, dla którego współczynnik kierunkowy przy \(\displaystyle{ x^{3}}\) wynosi 1. Więc:
\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+6r=(x-k)(x-k-r)(x-k-2r)}\)
mamy informacje, że k+r=2, czyli (x-k-r)=(x-2), zapisujemy więc:
\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+6r=(x-k)(x-2)(x-k-2r)}\)
wyraz pierwszy ciągu arytmetycznego to wyraz drugi odjąć r, zaś wyraz trzeci ciągu arytmetycznego to wyraz drugi dodać r. A ponieważ wiemy, ile wynosi wyraz drugi (k+r=2) to wyraz pierwszy wynosi 2-r a wyraz trzeci 2+r, stąd:
\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+6r=(x-2+r)(x-2)(x-2-r)}\)
wymnóż prawą stronę i porównaj współczynniki z lewą stroną, myśle, że powinno wyjść.

Pozdrawiam