Suma wykładników potęg w rozwinięciu dwumianu

[tsotsi]

Do jakiej potęgi należy podnieść dwumian \(\displaystyle{ a+b}\), aby w rozwinięciu suma wykładników potęg liczby \(\displaystyle{ a}\) we wszystkich wyrazach wyniosła \(\displaystyle{ 120}\)?

Jakiś inny sposób na rozwiązanie niż tylko: Jest to taka liczba \(\displaystyle{ n}\) dla której spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=120}\) i stąd \(\displaystyle{ n=15}\). Da się to jakoś porządnie wykazać?

[xanowron]

To chyba najprostsze rozwiązanie, jak już wiemy, że szukamy \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=120}\) (bo w rozwinięciu dwumianu wykładniki przy \(\displaystyle{ a}\) będą rosły od 0 do n w każdym wyrazie o 1) to wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego o różnicy \(\displaystyle{ 1}\) i mamy \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=\frac{(n+1)n}{2}=120}\) i od razu wychodzi \(\displaystyle{ n=15}\)

[tsotsi]

No tak, dzięki