Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
tsotsi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 15 lut 2010, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona

Post autor: tsotsi »

Da się to wykazać nie korzystając z tego, że:\(\displaystyle{ (a+b)^n= {n \choose 0}a^n+ {n \choose 1}a^{n-1}b+ ... + {n \choose n}b^n}\) ?

Czyli po prostu:

Wykaż że: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n}\)
ar1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 30 sty 2010, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Pomógł: 71 razy

Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona

Post autor: ar1 »

podstaw a=1 b=1
tsotsi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 15 lut 2010, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona

Post autor: tsotsi »

Akurat pytałem czy można to rozwiązać nie korzystając z tego podstawienia, więc teraz już domyślam się, że nie. Dzieki w każdym razie
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona

Post autor: Szemek »

tsotsi, próbowałeś indukcyjnie dowodzić
tsotsi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 15 lut 2010, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona

Post autor: tsotsi »

No właśnie próbowałem, ale się zacinałem w pewnym momencie. W wolnej chwili jeszcze spróbuje może, bo na pewno też powinno wyjść.

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nasze założenie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = 2^n}\) jest spełnione. W takim razie teza indukcyjna będzie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k} = 2^{n+1}}\)
Próbowałem już na wiele sposobów i nie wiem jak możnaby przekształcić lewą stronę tezy, żeby można było jakoś podstawić prawą stronę założenia tak, żeby coś sensownego z tego wyniknęło. Ma ktoś jakiś pomysł?
ODPOWIEDZ