Da się to wykazać nie korzystając z tego, że:\(\displaystyle{ (a+b)^n= {n \choose 0}a^n+ {n \choose 1}a^{n-1}b+ ... + {n \choose n}b^n}\) ?
Czyli po prostu:
Wykaż że: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n}\)
Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona
Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona
Akurat pytałem czy można to rozwiązać nie korzystając z tego podstawienia, więc teraz już domyślam się, że nie. Dzieki w każdym razie
Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu Newtona
No właśnie próbowałem, ale się zacinałem w pewnym momencie. W wolnej chwili jeszcze spróbuje może, bo na pewno też powinno wyjść.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nasze założenie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = 2^n}\) jest spełnione. W takim razie teza indukcyjna będzie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k} = 2^{n+1}}\)
Próbowałem już na wiele sposobów i nie wiem jak możnaby przekształcić lewą stronę tezy, żeby można było jakoś podstawić prawą stronę założenia tak, żeby coś sensownego z tego wyniknęło. Ma ktoś jakiś pomysł?
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nasze założenie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = 2^n}\) jest spełnione. W takim razie teza indukcyjna będzie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k} = 2^{n+1}}\)
Próbowałem już na wiele sposobów i nie wiem jak możnaby przekształcić lewą stronę tezy, żeby można było jakoś podstawić prawą stronę założenia tak, żeby coś sensownego z tego wyniknęło. Ma ktoś jakiś pomysł?