wykaże że

[kubastan]

Witam wszystkich
Oto dwa moim zdaniem trudne zadania:
Zad.1
Wykaż, że jeśli p+q+r=0 to p�+q�+r�=3pqr.

Zad.2
Zbadaj czy istnieje liczba rzeczywista a, dla której wielomian
W(x)=(4a+3)x�+9ax�+6ax+a+2
jest trzecią potęga pewnego dwumianu.

Z gory dziekuje za pomoc

[sushi]

na pewno jest p+q+r=0?

[ Dodano: 11 Wrzesień 2006, 23:43 ]
bo w poprzedniej wersji było : p+q-r=0 !!!!

[Zlodiej]

Ad 1.

Potraktujmy p,q,r jako pierwiastki pewnego wielomianu: \(\displaystyle{ W(x)=x^3+bx^2+cx+d}\), ze wzorów Viete'a mamy:

\(\displaystyle{ p+q+r=-b=0\,\\pq+qr+pr=c=-\frac{p^2+g^2+r^2}{2}\,\\pqr=-d}\)

\(\displaystyle{ 0=(p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+pr+rq)}\)

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ b=0\,\\c=-(p^2+g^2+r^2)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=x^3-(p^2+g^2+r^2)x+d}\)

Podstawiamy kolejno za x: p,q,r i sumujemy te równania stronami otrzymując:

\(\displaystyle{ p^3+q^3+r^3-(p^2+q^2+r^2)(p+q+r)+3d=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ p^3+q^3+r^3=-3d=3pqr}\)

[sushi]

do drugiego :

dwumian : bx+c podnieś do potęgi trzeciej i przyrównaj z W(x)

\(\displaystyle{ (bx+c) ^3= b^3x^3+ 3b^2x^2c+3bxc+c^3===(4a+3)x^3+9ax^2+6ax+a+2}\)

[Zlodiej]

Sposób znacznie prostszy:

Podstawiasz r=-(p+q) i masz:

\(\displaystyle{ p^3+q^3+r^3=p^3+q^3-(p+q)^3=p^3+q^3-p^3-3p^2q-3q^2p-q^3=3(-pq(p+q))=3(-pq(-r))=3pqr}\)