Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij

Persephone · Post autor: **Persephone** » 18 lut 2010, o 19:02

Twierdzenie: Jeżeli liczba całkowita \(\displaystyle{ p \neq 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych to suma współczynników tego wielomianu jest podzielna przez \(\displaystyle{ p-1}\).

Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, że jeżeli współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) są liczbami całkowitymi i \(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą nieparzystą, to liczba nieparzysta nie jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\).

Zupełnie nie rozumiem polecenia i nie wiem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 18 lut 2010, o 19:08

Jeśli liczba nieparzysta \(\displaystyle{ p}\) byłaby pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to \(\displaystyle{ W(1)}\) byłoby podzielne przez \(\displaystyle{ p-1}\), a tak być nie może, bo \(\displaystyle{ p-1}\) jest parzyste, a \(\displaystyle{ W(1)}\) nieparzyste.

Suma współczynników wielomianu to \(\displaystyle{ W(1)}\)

Azai · Post autor: **Azai** » 18 lut 2010, o 19:10

W(1) jest liczbą nieparzystą, czyli suma współczynników wielomianu W(x) jest liczbą nieparzystą.

Z twierdzenia wynika, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek p (różny od 1), to suma współczynników tego wielomianu jest podzielna przez p - 1.

Wracając do Twojego wielomianu, skoro p - 1 jest liczbą nieparzystą, to p będzie liczbą parzystą- co kończy uzasadnienie.

Persephone · Post autor: **Persephone** » 19 lut 2010, o 08:29

Już rozumiem. Dzięki bardzo