Dzielenie wielominu z parametrem

[mimol]

W pliku Zobaczyłem bardzo ciekawy przykład (nr2)
Treść:
Dla jakich parametrów a i b wielomian \(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+x+b}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x+1)^{2}}\)
Wiem skąd wzięły się dane w tabelce, rozumiem też, że dzieląc przez\(\displaystyle{ (x+1)^{2}}\) tak naprawdę dzielimy 2 x przez \(\displaystyle{ (x+1)}\).

1) Nie rozumiem jednak czemu dzieląc wielomian musi być też spełniony warunek \(\displaystyle{ b-a-2=R_1}\)
Jeśli dzielimy przez \(\displaystyle{ (x+1)^{2}}\) to tak naprawdę powinien nas interesować Reszta 2

2)Czy dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ (x+1)}\) nie byliśmy w stanie odpowiedzieć na pytanie?
\(\displaystyle{ b-a-2=R_1}\) Mielibyśmy wtedy 2 niewiadome?

[buba72]

Ja bym porównała wielomiany
\(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+x+b}\) = \(\displaystyle{ (x+1)^{2} \cdot (x+ b)}\)
Prawą stronę przekształć :skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia i wymnóż przez nawias a potem uporządkuj w zależności od potegi x i porównaj te dwa wielomiany.
powinno wyjść

[mimol]

Jednak dalej nie mam odpowiedzi na swoje pytania

Ja bym porównała wielomiany
\(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+x+b}\) = \(\displaystyle{ (x+1)^{2} \cdot (x+ b)}\)
Prawą stronę przekształć :skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia i wymnóż przez nawias a potem uporządkuj w zależności od potegi x i porównaj te dwa wielomiany.
powinno wyjść

prawa strona \(\displaystyle{ x^{3}+bx^{2}+2x^{2}+2xb+x+b}\)
b+2=-a

Nie wiem co dalej.

[buba72]

No i porównuj prawą i lewą stronę
przy \(\displaystyle{ x ^{2}}\) co stoi po lewej i po prawej czyli mamy
\(\displaystyle{ -a = b+ 2}\)
potem co stoi przy \(\displaystyle{ x}\) czyli mamy
\(\displaystyle{ 1 = 2b+ 1}\)
i wyrazy wolne się zgadzają .
Masz układ z dwoma niewiadomymi i tylko go rozwiązać

[mimol]

Dzięki za pomoc, a czy dzieląc wielomian \(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+x+b}\) przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)również wyliczyło by się rozwiązanie?

[buba72]

no tu by było trudniej to dany wielomian należałoby przedstawić jako \(\displaystyle{ (x-1)(funkcja -kwadratowa)}\) no żeby wyszło że to jest stopień trzeci
możemy oczywiście trochę podejrzewać jak ta funkcja kwadratowa mogłaby wyglądać czyli początek musi być \(\displaystyle{ x^{2}}\)końcówka \(\displaystyle{ -b}\) ale przy współczynnku \(\displaystyle{ x}\) musi stać jakiś parametr

[piasek101]

Dzięki za pomoc, a czy dzieląc wielomian \(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+x+b}\) przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)również wyliczyło by się rozwiązanie?

Oczywiście, dzielisz dwa razy :
\(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+x+b=(x+1)(x^2+(-1-a)x+(2+a))}\)+(-2-a+b)

dalej
\(\displaystyle{ (x^2+(-1-a)x+(2+a))=(x+1)(x+(-2-a))}\)+(4+2a)