Równanie wielomianowe z parametrami z podwójnym pierwiastkie

[malgosiab.]

Cześć, mam takie zadanko do rozwiązania i za bardzo nie wiem od czego zacząć.
Wykaż,że jeżeli równanie postaci \(\displaystyle{ x ^{3}+ ax+b=0}\) ma pierwiastek podwójny to \(\displaystyle{ 4a ^{3}+ 27b ^{2}=0}\) z góry dziękuje

[behemoth]

Nie wiem czy to jest poprawne rozumowanie, ale jednak je tutaj przedstawię....
Załóżmy, że \(\displaystyle{ g}\) jest pierwiastkiem podwójnym równania: \(\displaystyle{ x ^{3}+ ax+b=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ x ^{3}+ ax+b = (x-g)^2(x-h) = x^3-(h+2g)x^2+(2gh+g^2)x-g^2h}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -(h+2g)=0 \\ 2gh+g^2=a \\-g^2h=b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} h=-2g \\ 2gh+g^2=a \\-g^2h=b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} h=-2g\\ a = -3g^2 \\b=2g^3 \end{cases}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) do \(\displaystyle{ 4a ^{3}+ 27b ^{2} = 4\cdot(-27g^6)+27\cdot4g^6=0}\) Zatem rzeczywiści, jeśli g jest podwójnym pierwiastkiem powyższego równania, to zachodzi: \(\displaystyle{ 4a ^{3}+ 27b ^{2}=0}\) c.n.d.

[malgosiab.]

A mógłbyś mi tylko wytłumaczyć skąd się wzięło to \(\displaystyle{ h}\) ? bardzo dziękuje za rozwiązanie

[adner]

h to trzeci pierwiastek równania.

[malgosiab.]

aaaaa już wszystko jasne dziękuje!