oblicz pierwiastki wielomianu

Gabriella20 · Post autor: **Gabriella20** » 17 lut 2010, o 20:47

proszę o pomoc:
oblicz pierwiastki wielomianu : \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} - x ^{3} - 2x - 4}\)

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 17 lut 2010, o 20:50

\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} - x ^{3} - 2x - 4=x^{3}(x+1)-2x^{2}(x+1)+2x(x+1)+-4(x+1)}\)
Coś można wyłączyć przed nawias...

Lolek271 · Post autor: **Lolek271** » 17 lut 2010, o 20:52

\(\displaystyle{ W(2)=0}\)

Zatem

\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x^{3}+x^{2}+2x+2)=(x-2)(x+1)(x^{2}+2)}\)

kaisog · Post autor: **kaisog** » 17 lut 2010, o 20:57

\(\displaystyle{ \frac{p}{q} : \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4}\)
\(\displaystyle{ W(1)= 1-1-2-4 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=1+1+2-4= 0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =-1}\)
Dzielimy wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} - x ^{3} - 2x - 4}\) przez wielomian (x+1)
otrzymujemy \(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} +2x - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2) + 2(x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ (x ^{2}+2) (x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 2}\)

czyli pierwiastkami są: -1,2

Lolek271 · Post autor: **Lolek271** » 17 lut 2010, o 21:00

Bez kwadratu na końcu. A tak do dobrze.

kaisog · Post autor: **kaisog** » 17 lut 2010, o 21:03

jasne, mialo byc \(\displaystyle{ x _{2}}\)

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 17 lut 2010, o 21:41

kaisog pisze: Dzielimy wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} - x ^{3} - 2x - 4}\) przez wielomian (x+1)
otrzymujemy \(\displaystyle{ x ^{3} -2x ^{2} +2x - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2) + 2(x-2) = 0\\
...}\)

kaisog, nie rozumiem... mogłabyś pokazać jak podzieliłaś? Dziękuję.

kaisog · Post autor: **kaisog** » 18 lut 2010, o 11:31

hmm.. nie wiem jak to napisać w tym całym Latexie,
dzielić można albo tak normalnie, jak sie dzieli wielomiany, albo wg schematu Hornera.
Zobacz sobie moze gdzies w necie na czym to polega.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 18 lut 2010, o 14:35

Wiem jak dzielić wielomiany...
Czy możesz pokazać jak ty podzieliłaś ten jeden konkretny przykład przez (x-1) i otrzymałaś w/w wielomian? Bo wg mnie dzieliłaś przez (x-2).

kaisog · Post autor: **kaisog** » 18 lut 2010, o 15:02

a wiesz jak jest ze schematem Hornera?
Podejrzewam że ominąłeś współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{2}}\). Ten współczynnik wynosi 0 i też trzeba go uwzględnić

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 18 lut 2010, o 15:19

Nie ominąłem grupowałem wyrazy jak w moim pierwszym posicie... podejrzanie szybko dostałaś taką (\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2) + 2(x-2) = 0}\)) postać, więc ciekawy jestm w jaki sposób dzieliłaś ten wielomian przez dwumian x+1.

[edit]
...i jednak zostanę, wraz ze swoją ciekawością, przy sposobie grupowania wyrazów. Niech to, jak podzieliłaś ten wielomian, będzie Twoją tajemnicą, ok? ;D

kaisog · Post autor: **kaisog** » 18 lut 2010, o 16:54

Wcale nie chce tego trzymac w tajemnicy;) tylko po prostu nie umiem tutaj napisać tej 'tabelki' ze wspolczynnikami ale sprobuje

\(\displaystyle{ (x ^{4} - x ^{3} - 2x - 4) : (x+1)}\)
Wypisuje współczynniki i dziele zgodnie ze schematem Hornera (-1)
1, -1, 0, -2, -4
----1, 2, -2, 4
1, -2, 2, -4, 0

Te współczynniki które wyszły są współczynnikami przy kolejnych potegach x otrzymanego poprzez to dzielenie wielomianu czyli wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}+2x-4}\)

No i teraz z początkowych dwóch i z kolejnych dwóch składników wyłączam co trzeba i otrzymałam to \(\displaystyle{ x ^{2} (x-2) + 2(x-2) = 0}\)

DLa mnie podejrzane jest to, skad tak wiedziales co i jak wylaczyc z tej pierwotnej postaci W(x)

-- 18 lut 2010, o 17:00 --

teraz to sie zastanawiam czy dobrze mnie zrozumiales. ja dzieliłam ten wielomian: W(x) przez (x+1) ,nie ten:\(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}+2x-4}\). postac z wyłączonym (x-2) otrzymalam po prostu zauwazywszy ze ten czynnik sie powtarza. moglabym tu dalej szukac miejsca zerowego i potem podzielic przez x-2 ale nie bylo takiej potrzeby.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 18 lut 2010, o 17:38

Ok, już wszystko jasne szukamy pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego "na oko" , tutaj jednym z nich jest -1, więc grupujemy w taki sposób aby można było wyłączyć (x-1) przed nawias.

smigol pisze: ot i cala filozofia.

kaisog · Post autor: **kaisog** » 18 lut 2010, o 18:02

no tak