Pierwiastki wielomianu

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 15 lut 2010, o 19:48

Witam,
Mam problem z następującym zadaniem. Wiedząc że liczba r jest pierwiastkiem wielomianu znajdź jego pozostałe pierwiastki.
\(\displaystyle{ W_{x}= x^{4}+2x^{3}-7x^{2}-8x+12}\)
\(\displaystyle{ r=2}\)

No więc zgodnie z twierdzeniem Bezout podzieliłem ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) i wyszło mi coś takiego: \(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+x-6}\)

I co mam teraz zrobić? Jak wyliczyć pozostałe pierwiastki wielomianu?
Z góry dzięki za pomoc.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 15 lut 2010, o 19:58

Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) nie może wyjść reszta - tak przecież orzeka twierdzenie Bezouta. Sprawdź swoje obliczenia.

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 15 lut 2010, o 20:01

Tak, wiem Poprawiłem już się. Ale dalej nie wiem jak obliczyć te pierwiastki...

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 15 lut 2010, o 20:17

Łatwo zgadnąć (albo korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych), że 1 jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3+4x^2+x-6}\). Wykonując odpowiednie dzielenie otrzymasz teraz wielomian stopnia drugiego, którego ewentualne pierwiastki już łatwo wyznaczyć.

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 15 lut 2010, o 20:20

Nie za bardzo rozumiem jak mam to przekształcić żeby wyszło równianie kwadratowe. Jakbyś mógł mi to rozpisać to byłbym wdzięczny.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 15 lut 2010, o 20:24

Mamy \(\displaystyle{ x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6)}\) i wobec tego dalej \(\displaystyle{ x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)}\), czyli pozostałe pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W}\) to 1,-2,-3.

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 15 lut 2010, o 20:29

Ok. Dzięki. Jeszcze tylko jedno pytanie. Zaraz na początku rozbiłeś to równanie tak, że jeden z pierwiastków wyszedł Ci 1 (dalej jest równanie kwadratowe). Jest na to jakiś sposób który powinienem znać na poziomie liceum czy opiera się to głównie na "zgadywaniu"?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 lut 2010, o 21:35

,,Zgadywanie" to też sposób - patrzysz (tu) tylko na (-6).