Parametr dla którego nierówność jest zawsze spełniona

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 11 lut 2010, o 23:07

Dla jakich wartości parametru m nierówność
\(\displaystyle{ (m^2-1) x^2 + 2(m-1)x + 2 > 0}\)
jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\)? Czy istnieje takie x, aby dla każdego \(\displaystyle{ m \in R}\) powyższa równość była prawdziwa?

Jeśli chodzi o pierwszą część zadania to wystarczy warunek

\(\displaystyle{ \begin{cases} a>0 \\ \Delta <0 \end{cases}}\) ?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 11 lut 2010, o 23:18

Plus jeszcze m=1. Dla takiego m, a=0 i nierówność również jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Jeżeli masz parametr przy zmiennej o potędze 2, to nie zapomij o przypadku, kiedy ten parametr się zeruje i dostajemy funkcję liniową. W tym wypadku zeruje się dla m=1 i m=-1, ale dla tego drugiego funkcja też przyjmuje wartości ujemne - nie spełnia warunków zadania.

zati61 · Post autor: **zati61** » 11 lut 2010, o 23:19

2 część to to samo co 1 z tym wyjątkiem, że teraz mamy funkcje f(m) a parametrem jest "x", wiec przeksztalc ta funkcje tak, zebys widzial ze to trojmian kwadratowy

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 11 lut 2010, o 23:34

No tak, po przekształceniu otrzymałem coś takiego:

\(\displaystyle{ m^2x^2 + 2mx - x^2 - 2x + 2 > 0}\)

Ramiona paraboli są zatem zawsze skierowane ku górze, \(\displaystyle{ \Delta = [2x(x-1)]^2 \ge 0}\) zatem odpowiedź jest twierdząca, dla każdego x in R nierównośc jest spełniona.

zati61 · Post autor: **zati61** » 13 lut 2010, o 19:30

zapomniałeś, co dzieje się gdy m=0 (funkcja liniowa)

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 27 gru 2013, o 14:47

Liczę \(\displaystyle{ \Delta}\) dla nierówności: \(\displaystyle{ m^2x^2 + 2mx - x^2 - 2x + 2 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4x^2-4x^2(2-2x-x^2)=4x^2(1-2+2x+x^2)=4x^2(x^2+2x-1)=4x^2[(x+1)^2-2]=4x^2[(x+1+ \sqrt{2})(x+1- \sqrt{2} ) \neq [2x(x-1)]^2}\)

Gdzie jest błąd, bo nie mogę znaleźć.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 28 gru 2013, o 15:58

Nie ma błędu, mi wyszło tak samo. A co do pytania z tematu, to ja bez liczenia udzielam odpowiedzi:
Tak, istnieje (\(\displaystyle{ x=0}\)).

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 28 gru 2013, o 16:16

W poleceniu nr 2 chodzi oto żeby znaleźć przynajmniej jedną wartość x dla ktorego ta nierownosc jest spełniona?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 28 gru 2013, o 16:32

Czy istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), aby dla każdego \(\displaystyle{ m \in R}\) powyższa równość była prawdziwa?

Wskazanie takiej wartości daje pozytywną odpowiedź. Gdyby natomiast takich liczb nie było, to potrzebne byłoby bardziej fachowe uzasadnienie.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 28 gru 2013, o 19:51

Wszystko jasne dzięki