Wykaż, że zachodzi nierówność - wielomian 4-go stopnia

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 11 lut 2010, o 11:05

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1>0}\).

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 lut 2010, o 11:09

Bez pochodnych to np przyrównać lewą stronę do \(\displaystyle{ (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}\) wyznaczyć (a) i (b) - zobaczyć, że oba kwadratowe mają ujemne delty.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 11 lut 2010, o 11:21

A z pochodnymi?

[edit] Po wymnożeniu dostajemy wyrażenie, gdzie współczynnik przy zmiennej o potędze stopnia drugiego równy jest 2. W nierówności ten współczynnik to jeden.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 11 lut 2010, o 11:23

Lewą stronę traktujesz jako funkcje i liczysz pochodną tej funkcji. Badasz nastepnie monotonicznosc tej funkcji itd Ciekawe czy się bedzie ładnie liczyło

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 11 lut 2010, o 11:31

Czyli należy pokazać, że funkcja np. od minus nieskończoności maleje, przyjmuje ekstrema dodatnie, a później rośnie do plus nieskończoności?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 11 lut 2010, o 11:35

Policz sobie pochodną i zobaczysz jak ta funkcja się zachowuje. Ekstrema tez mozesz policzyc

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 lut 2010, o 15:49

tometomek91 pisze:Po wymnożeniu dostajemy wyrażenie, gdzie współczynnik przy zmiennej o potędze stopnia drugiego równy jest 2. W nierówności ten współczynnik to jeden.

Nie wiem o czym piszesz - wszystko ładnie idzie.

mkb · Post autor: **mkb** » 11 lut 2010, o 16:30

Po rozpisaniu lewej strony:
\(\displaystyle{ (1-x)(1-x^3)+x^2}\)
widać, że wyrażenia w nawiasach są tego samego znaku, drugi wyraz jest nieujemny, a gdy jeden ze składników jest równy 0, to drugi jest dodatni.