Udowodnij,że funkcja..

gazda · Post autor: **gazda** » 6 wrz 2006, o 18:01

Udowodnij, że funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze R

\(\displaystyle{ f(x)=3-3x-x^{3}}\)

bycmoze zadanie jest banalnie proste ale jestem poczatkujacy i prosze o wyrozumialosc

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 6 wrz 2006, o 18:14

Więc tak.
Musisz zbadać róznicę
\(\displaystyle{ 3-3(x+1)-(x+1)^{3}-(3-3x-x^{3})=}\)
\(\displaystyle{ 3-3x-3-(x^{3}+3x^{2}+3x+1)-3+3x+x^{3}=}\)
\(\displaystyle{ 3-3x-3-x^{3}-3x^{2}-3x-1-3+3x+x^{3}=}\)
\(\displaystyle{ -3x^{2}-3x-4}\)
ostatnie wyrażenie jeśli potraktujesz jako funkcję to będzie to funkcja kwadratowa gdzie a jest ujemne delta też jest uemna a to oznacza, że funkca w całęj swojej dziedzinie posiada ujemne wartości. Jest to parabola z ramionami skierowanymi do dołu. Oznacza to, że funkcja
y=3-3x-x� jest malejąca w R

bolo · Post autor: **bolo** » 6 wrz 2006, o 18:22

\(\displaystyle{ f'(x)=-3-3x^{2}=-(x^{2}+3)}\)

Pochodna jest zawsze ujemna. Jest malejąca, a nie rosnąca.

gazda · Post autor: **gazda** » 7 wrz 2006, o 11:00

to byla czesc jednego zadania z mojego podrecznika, ktore brzmi:
Funkcje \(\displaystyle{ f:R\rightarrow R}\) i \(\displaystyle{ g:R\rightarrow R}\) sa okreslone wzorami: \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+1, g(x)=3-3x-x^{3}.}\)
Wykaz, ze rownanie \(\displaystyle{ f(g(x))=g(f(x))}\) nie ma rozwiazan.

Odpowiedz z podrecznika:
Poniewaz \(\displaystyle{ f(x)>x}\) dla kazdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), oraz funkcja g jest rosnaca w zbiorze R (wykaz to!), stad dla kazdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodza nierownosci\(\displaystyle{ f(g(x))>g(x)>(g(f(x))}\).

blad w podreczniku ?

liu · Post autor: **liu** » 9 wrz 2006, o 01:46

Tak, ktos po prostu sie przejezyczyl. Zdarza sie Ale to dobry znak, bo czujnie czytasz;)
W nastepnym zdaniu korzystaja z tego, ze jest malejaca (to widac nawet jak sie na wykres spojrzy):

x < f(x), stad g(x) > g(f(x)) -> tutaj wykorzystany jest fakt, ze jest malejaca.