Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \left| x ^{9} -x \right| + \left| x ^{8}-x ^{7} \right| = \left|x ^{9} - x ^{8} + x ^{7} -x \right|}\)
Po głębszej rozkminie doszedłem do dwóch warunków:
\(\displaystyle{ x ^{9} -x \ge 0 \wedge x ^{8} - x ^{7} \le 0}\)
I dostałem rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=0 \vee x=1}\)
Niech mi ktoś powie czy jest dobrze, a jeśli tak to czy powinienem jakoś opisać skąd mi się wzięły te warunki?
Równanie z modułem
-
porwany-obledem
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 19 maja 2009, o 00:56
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
-
zati61
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 11 gru 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: aaa
- Pomógł: 119 razy
Równanie z modułem
można wyłączyć x z każdej wart. bezw. mamy rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=0}\) i równanie:
\(\displaystyle{ \left| x ^{8} -1 \right| + \left| x ^{7}-x ^{6} \right| = \left|x ^{8} - x ^{7} + x ^{6} -1 \right|}\)
Teraz tak:
\(\displaystyle{ |1| \ x^8-1 \ge 0 \Leftrightarrow |x| \ge 1 \\
|2| \ x ^{7}-x ^{6} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\\
|3| \ x ^{8} - x ^{7} + x ^{6} -1 \ge 0 \Leftrightarrow (- \infty ; x_{1}> \cup <1; \infty ) \ (x_{1} \in (-1;0)}\)
dobra wiemy kiedy i jak opuszczac wart., bezwz.
Teraz przypadki:
1) \(\displaystyle{ 1 \ge 0 \ 2 \ge 0 \Rightarrow 3 \ge 0}\)
opuszczamy wszystko bez zmiany znaków: dostajemy rozwiązania: x=0 lub x=1
uwzględniając przedział: tylko x=1
2) \(\displaystyle{ 1 \ge 0 \ 2< 0 \Rightarrow}\) już mamy sprzeczność
3) \(\displaystyle{ 1 < 0 \ 2 \ge < 0 \Rightarrow}\) też sprzeczność.
Ostatni przypadek:
\(\displaystyle{ 4) 1<0 \ 2<0}\)to mamy przedział: \(\displaystyle{ x \in (-1;1)}\)
ale 3 funkcja nasza jest w tym przedziale i dodatnia i ujemna, wiec trzeba rozlozyc ten przedzial na 2 podprzedzialy:
4)a)\(\displaystyle{ 1<0 \ 2<0 \ 3>0}\) mamy przedział: \(\displaystyle{ x \in (-1;x_{1})}\)
rozwiązania x=0 lub x=1 nie należa do przedziału-> sprzeczność
4)b) \(\displaystyle{ 1<0 \ 2<0 \ 3<0}\) mamy przedział: \(\displaystyle{ x \in (x_{1};1)}\)
rozwiązania x=0 lub x=1 nie należa do przedziału-> sprzeczność
1 2 3 to te nasze funcje w wart. bezw., oczywiście(w kolejności od lewej do prawej)
Ostatecznie \(\displaystyle{ x=0 \vee x=1}\)
\(\displaystyle{ \left| x ^{8} -1 \right| + \left| x ^{7}-x ^{6} \right| = \left|x ^{8} - x ^{7} + x ^{6} -1 \right|}\)
Teraz tak:
\(\displaystyle{ |1| \ x^8-1 \ge 0 \Leftrightarrow |x| \ge 1 \\
|2| \ x ^{7}-x ^{6} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\\
|3| \ x ^{8} - x ^{7} + x ^{6} -1 \ge 0 \Leftrightarrow (- \infty ; x_{1}> \cup <1; \infty ) \ (x_{1} \in (-1;0)}\)
dobra wiemy kiedy i jak opuszczac wart., bezwz.
Teraz przypadki:
1) \(\displaystyle{ 1 \ge 0 \ 2 \ge 0 \Rightarrow 3 \ge 0}\)
opuszczamy wszystko bez zmiany znaków: dostajemy rozwiązania: x=0 lub x=1
uwzględniając przedział: tylko x=1
2) \(\displaystyle{ 1 \ge 0 \ 2< 0 \Rightarrow}\) już mamy sprzeczność
3) \(\displaystyle{ 1 < 0 \ 2 \ge < 0 \Rightarrow}\) też sprzeczność.
Ostatni przypadek:
\(\displaystyle{ 4) 1<0 \ 2<0}\)to mamy przedział: \(\displaystyle{ x \in (-1;1)}\)
ale 3 funkcja nasza jest w tym przedziale i dodatnia i ujemna, wiec trzeba rozlozyc ten przedzial na 2 podprzedzialy:
4)a)\(\displaystyle{ 1<0 \ 2<0 \ 3>0}\) mamy przedział: \(\displaystyle{ x \in (-1;x_{1})}\)
rozwiązania x=0 lub x=1 nie należa do przedziału-> sprzeczność
4)b) \(\displaystyle{ 1<0 \ 2<0 \ 3<0}\) mamy przedział: \(\displaystyle{ x \in (x_{1};1)}\)
rozwiązania x=0 lub x=1 nie należa do przedziału-> sprzeczność
1 2 3 to te nasze funcje w wart. bezw., oczywiście(w kolejności od lewej do prawej)
Ostatecznie \(\displaystyle{ x=0 \vee x=1}\)
-
porwany-obledem
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 19 maja 2009, o 00:56
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Równanie z modułem
Dzięki. Moje rozumowanie to było coś mniej więcej ala przerobiona wersja nierówności trójkąta. (nvm). Wyniki się zgadzają, ciekawe tylko czy to przypadek czy może miałem dobre rozwiązanie.