tajemniczy wielomian

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

tajemniczy wielomian

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dany jest pewien wielomian, który spełnia tożsamość:
\(\displaystyle{ xW(x-1)=(x-2)W(x)}\). ...oraz \(\displaystyle{ W(3)=6}\). Znajdź \(\displaystyle{ W( \sqrt{3})}\)
Awatar użytkownika
Lady Tilly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

tajemniczy wielomian

Post autor: Lady Tilly »

Powim może tak: zaczęłam kombinować od tej strony:
\(\displaystyle{ 3W(2)=6}\) czyli \(\displaystyle{ W(2)=2}\) a dalej
\(\displaystyle{ W(1)=0}\) dalej idąc tym torem mozna znaleźć miejsca zerowe tego wielomianu. Chociaż nie wiem do konca zcy dobrze myśle. Ale idąc tym torem mozan obliczyć później bez problemu to o co chodzi.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

tajemniczy wielomian

Post autor: Tristan »

Zauważmy, że \(\displaystyle{ W(3)=3 2}\), \(\displaystyle{ W(2)=2 1}\), \(\displaystyle{ W(1)=1 0}\), \(\displaystyle{ W(0)=0 (-1)}\), a ogólnie \(\displaystyle{ W(x)=x(x-1)}\) co łatwo sprawdzić. Czyli \(\displaystyle{ W( \sqrt{3} )=3- \sqrt{3}}\).
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

tajemniczy wielomian

Post autor: liu »

Hmm, na razie zauwazylismy tylko, ze \(\displaystyle{ W(x)=x(x-1)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\). W dowodzie brakuje jeszcze malego kroczku. Znanym (i banalnym w dowodzie) jest fakt, ze jezeli dwa wielomiany przyjmuja takie same wartosci w nieskonczenie wielu punktach to sa rowne. Nalezy go zastosowac do wielomianu W oraz wielomianu x(x-1)
ODPOWIEDZ