Ilość pierwiastków w zależności od parametru

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 7 lut 2010, o 22:23

Wyznacz liczbę rozwiązania równania \(\displaystyle{ (m-3)x^4 - 3(m-3)x^2 + m + 2 = 0}\) w zależności od parametru m.

Dla m=3 brak rozwiązań

Rozpatruję więc równanie dwukwadratowe. Podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2}\).Zakładam \(\displaystyle{ m \neq 3}\) i obliczam \(\displaystyle{ \Delta = 5(m^2-10m + 21)}\).

Brak rozwiązań gdy \(\displaystyle{ \Delta <0}\).

Aby były dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \Delta = 0}\). Zajdzie to dla m=4 lub m = 7. Podstawiam te m i sprawdzam czy \(\displaystyle{ t \ge 0}\). Jeśli tak mam dwa rozwiązania, jeśli nie - rozwiązań brak.

Aby były cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ t_1 \cdot t_2 >0 \\ t_1 + t_2 > 0 \end{cases}}\)

Dobrze zapisałem wszystkie przypadki? Czy coś pominąłem?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 7 lut 2010, o 22:26

Coś pominąłeś np :
- kiedy trzy rozwiązania ?
- kiedy jedno ?
- brak rozwiązań to nie tylko ujemna delta, ale np dodatnia ale oba rozwiązania ujemne

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 7 lut 2010, o 22:33

-brak rozwiązań to nie tylko ujemna delta, ale np dodatnia ale oba rozwiązania ujemne

Tutaj zatem będzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ t_1 \cdot t_2 <0 \\ t_1 + t_2 < 0 \end{cases}}\)

A kiedy będzie jedno lub trzy to nie wiem. Bo jeśli \(\displaystyle{ t \ge 0}\) to mamy automatycznie dwa rozwiązania... Chyba że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki gdy t=0. Tylko jak to zapisać?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 7 lut 2010, o 22:40

Tam masz mieć iloczyn dodatni.

Normalnie z Viete'a.
Czy wszystkie przypadki mogą zajść nie wiadomo ale sprawdzić trzeba.

Np ujemny i zerowy \(\displaystyle{ t_1+t_2<0}\) oraz \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2=0}\)

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 7 lut 2010, o 22:51

No tak, ale jaką informacje daje mi to \(\displaystyle{ t_1+t_2 <0}\) ? Nie za bardzo wiem jak to poskładać, żeby rozwiązać zadanie od A do Z

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 lut 2010, o 07:41

Oba warunki jakie napisałem dotyczą jednego ujemnego i jednego zerowego pierwiastka.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 8 lut 2010, o 20:50

Ok poskładałem to wszystko do kupy. Mam nadzieję, że teraz będzie ok:

I Brak rozwiązań
1.m=3
2. \(\displaystyle{ \Delta <0}\)
3. \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1 \cdot t_2 >0 \\ t_1+t_2 <0 \end{cases}}\)

II Jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ t_1+t_2 <0 \\ t_1t_2=0 \end{cases}}\)

III Dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1t_2<0 \end{cases}}\)
i trzeba jeszcze sprawdzić co się stanie gdy delta=0

IV Trzy rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1t_2=0 \\ t_1+t_2 >0 \end{cases}}\)

IV Cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > \\ t_1 t_2>0 \\ t_1 + t_2>0 \end{cases}}\)

Czy czegoś jeszcze mi brakuje?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 lut 2010, o 21:11

Na szybkiego to brak przypadków z deltą zerową.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 8 lut 2010, o 21:44

Zgadza się. Czy teraz już mozna uznać zadanie za rozwiązane?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 lut 2010, o 21:47

Jak dołożysz przypadki z deltą zero.

Do rozwiązanego zadania to jeszcze daleko - ale sobie poradzisz.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 8 lut 2010, o 21:53

Przypadki? Z tą deltą zero chodzi po prostu o to, że \(\displaystyle{ \Delta=0 \Leftrightarrow m=3 \vee m =4}\), w pierwszym przypadku otrzymujemy sprzecznośc 5=0 zaś w drugim równanie postaci \(\displaystyle{ 4t^2 - 3t + 9 = 0}\), \(\displaystyle{ \Delta = -135}\) a wiec brak rozwiązań. Tak?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 lut 2010, o 22:01

Bartek1991 pisze:Przypadki? Z tą deltą zero chodzi po prostu o to, że \(\displaystyle{ \Delta=0 \Leftrightarrow m=3 \vee m =4}\), w pierwszym przypadku otrzymujemy sprzecznośc 5=0 zaś w drugim równanie postaci \(\displaystyle{ 4t^2 - 3t + 9 = 0}\), \(\displaystyle{ \Delta = -135}\) a wiec brak rozwiązań. Tak?

Przecież wcześniej miałeś ([edit] nie miałeś), że to dla m = 3 (sprzeczny) oraz dla m = 7.
I tutaj mam : \(\displaystyle{ 4t^2-12t+9=0}\).

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 8 lut 2010, o 22:09

No tak czyli dla m=7 mamy jeszcze dwa rozwiązania. I teraz już mamy chyba wszystko?