Ilość pierwiastków w zależności od parametru
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Wyznacz liczbę rozwiązania równania \(\displaystyle{ (m-3)x^4 - 3(m-3)x^2 + m + 2 = 0}\) w zależności od parametru m.
Dla m=3 brak rozwiązań
Rozpatruję więc równanie dwukwadratowe. Podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2}\).Zakładam \(\displaystyle{ m \neq 3}\) i obliczam \(\displaystyle{ \Delta = 5(m^2-10m + 21)}\).
Brak rozwiązań gdy \(\displaystyle{ \Delta <0}\).
Aby były dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \Delta = 0}\). Zajdzie to dla m=4 lub m = 7. Podstawiam te m i sprawdzam czy \(\displaystyle{ t \ge 0}\). Jeśli tak mam dwa rozwiązania, jeśli nie - rozwiązań brak.
Aby były cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ t_1 \cdot t_2 >0 \\ t_1 + t_2 > 0 \end{cases}}\)
Dobrze zapisałem wszystkie przypadki? Czy coś pominąłem?
Dla m=3 brak rozwiązań
Rozpatruję więc równanie dwukwadratowe. Podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2}\).Zakładam \(\displaystyle{ m \neq 3}\) i obliczam \(\displaystyle{ \Delta = 5(m^2-10m + 21)}\).
Brak rozwiązań gdy \(\displaystyle{ \Delta <0}\).
Aby były dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \Delta = 0}\). Zajdzie to dla m=4 lub m = 7. Podstawiam te m i sprawdzam czy \(\displaystyle{ t \ge 0}\). Jeśli tak mam dwa rozwiązania, jeśli nie - rozwiązań brak.
Aby były cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ t_1 \cdot t_2 >0 \\ t_1 + t_2 > 0 \end{cases}}\)
Dobrze zapisałem wszystkie przypadki? Czy coś pominąłem?
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Coś pominąłeś np :
- kiedy trzy rozwiązania ?
- kiedy jedno ?
- brak rozwiązań to nie tylko ujemna delta, ale np dodatnia ale oba rozwiązania ujemne
- kiedy trzy rozwiązania ?
- kiedy jedno ?
- brak rozwiązań to nie tylko ujemna delta, ale np dodatnia ale oba rozwiązania ujemne
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Tutaj zatem będzie:-brak rozwiązań to nie tylko ujemna delta, ale np dodatnia ale oba rozwiązania ujemne
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ t_1 \cdot t_2 <0 \\ t_1 + t_2 < 0 \end{cases}}\)
A kiedy będzie jedno lub trzy to nie wiem. Bo jeśli \(\displaystyle{ t \ge 0}\) to mamy automatycznie dwa rozwiązania... Chyba że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki gdy t=0. Tylko jak to zapisać?
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Tam masz mieć iloczyn dodatni.
Normalnie z Viete'a.
Czy wszystkie przypadki mogą zajść nie wiadomo ale sprawdzić trzeba.
Np ujemny i zerowy \(\displaystyle{ t_1+t_2<0}\) oraz \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2=0}\)
Normalnie z Viete'a.
Czy wszystkie przypadki mogą zajść nie wiadomo ale sprawdzić trzeba.
Np ujemny i zerowy \(\displaystyle{ t_1+t_2<0}\) oraz \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
No tak, ale jaką informacje daje mi to \(\displaystyle{ t_1+t_2 <0}\) ? Nie za bardzo wiem jak to poskładać, żeby rozwiązać zadanie od A do Z
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Ok poskładałem to wszystko do kupy. Mam nadzieję, że teraz będzie ok:
I Brak rozwiązań
1.m=3
2. \(\displaystyle{ \Delta <0}\)
3. \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1 \cdot t_2 >0 \\ t_1+t_2 <0 \end{cases}}\)
II Jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ t_1+t_2 <0 \\ t_1t_2=0 \end{cases}}\)
III Dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1t_2<0 \end{cases}}\)
i trzeba jeszcze sprawdzić co się stanie gdy delta=0
IV Trzy rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1t_2=0 \\ t_1+t_2 >0 \end{cases}}\)
IV Cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > \\ t_1 t_2>0 \\ t_1 + t_2>0 \end{cases}}\)
Czy czegoś jeszcze mi brakuje?
I Brak rozwiązań
1.m=3
2. \(\displaystyle{ \Delta <0}\)
3. \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1 \cdot t_2 >0 \\ t_1+t_2 <0 \end{cases}}\)
II Jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ t_1+t_2 <0 \\ t_1t_2=0 \end{cases}}\)
III Dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1t_2<0 \end{cases}}\)
i trzeba jeszcze sprawdzić co się stanie gdy delta=0
IV Trzy rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_1t_2=0 \\ t_1+t_2 >0 \end{cases}}\)
IV Cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > \\ t_1 t_2>0 \\ t_1 + t_2>0 \end{cases}}\)
Czy czegoś jeszcze mi brakuje?
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Zgadza się. Czy teraz już mozna uznać zadanie za rozwiązane?
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Przypadki? Z tą deltą zero chodzi po prostu o to, że \(\displaystyle{ \Delta=0 \Leftrightarrow m=3 \vee m =4}\), w pierwszym przypadku otrzymujemy sprzecznośc 5=0 zaś w drugim równanie postaci \(\displaystyle{ 4t^2 - 3t + 9 = 0}\), \(\displaystyle{ \Delta = -135}\) a wiec brak rozwiązań. Tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
Przecież wcześniej miałeś ([edit] nie miałeś), że to dla m = 3 (sprzeczny) oraz dla m = 7.Bartek1991 pisze:Przypadki? Z tą deltą zero chodzi po prostu o to, że \(\displaystyle{ \Delta=0 \Leftrightarrow m=3 \vee m =4}\), w pierwszym przypadku otrzymujemy sprzecznośc 5=0 zaś w drugim równanie postaci \(\displaystyle{ 4t^2 - 3t + 9 = 0}\), \(\displaystyle{ \Delta = -135}\) a wiec brak rozwiązań. Tak?
I tutaj mam : \(\displaystyle{ 4t^2-12t+9=0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ilość pierwiastków w zależności od parametru
No tak czyli dla m=7 mamy jeszcze dwa rozwiązania. I teraz już mamy chyba wszystko?