funkcja wymierna z parametrem

[gaabryysiaa1992]

Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ \frac{1+mx}{1+ x^{2}}<m}\) jest zbiór R?

[rodzyn7773]

mianownik zawsze większy od zera zatem możemy spokojnie mnożyć bez zmiany znaku:
\(\displaystyle{ \frac{1+mx}{1+ x^{2}}<m \\ 1+mx<m+m x^2 \\ mx^2-mx+m-1>0}\)
żeby to równanie było spełnione przez każdą liczbę R:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m>0 \\ \Delta<0 \end{cases}}\)
I - ramiona paraboli skierowane do góry
II - brak miejsc zerowych czyli parabola nad osią OX