Monotoniczność i ekstremum

karas2002 · Post autor: **karas2002** » 6 lut 2010, o 18:35

Mógłby ktoś pomóc i napisać jak zbadać monotoniczność i znaleźć ekstremum funkcji:
\(\displaystyle{ y=x^2\cdot e^{-x}}\)

rsasquatch · Post autor: **rsasquatch** » 6 lut 2010, o 19:34

Liczymy pochodną
\(\displaystyle{ y^{'}=e^{-x}(2x-x^2)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=2}\)
Czyli funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (- \infty ,0) \wedge (2, \infty )}\)
Jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ [0,2]}\)
Przyjmuje minimum lokalne w 0 które wynosi 0
oraz maksimum lokalne w 2 które wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{e^2}}\)

karas2002 · Post autor: **karas2002** » 6 lut 2010, o 20:08

Dzięki wielkie, ale czy mógłbyś rozpisać mi jak obliczyć pochodną z \(\displaystyle{ e^{-x}}\)? Jakoś mi nie wychodzi...
I dlaczego \(\displaystyle{ x=0}\)?
\(\displaystyle{ e^{0}}\) równa się 0 a nie 1?

rsasquatch · Post autor: **rsasquatch** » 6 lut 2010, o 21:32

\(\displaystyle{ e^0=1}\)

\(\displaystyle{ (e^{-x})^'=e^{-x} \cdot (-x)^{'}=-e^{-x}}\)

x=0 dlatego że pochodna się zeruje w tym punkcie.