wyznacz m

[Tux]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-(m+2)x^{2}-5x}\) ma trzy różne pierwiastki, których suma jest równa zero. Wyznacz m

[tometomek91]

\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-(m+2)x^{2}-5x=x(x^{2}-(m+2)x-5)}\)
Jeden pierwiastek jest równy zero, dwa pozostałe muszą być przeciwne, lub inaczej, odcięta wierzchołka musi leżeć na osi OY. Aby tak było współczynnik przy x wyrażenia w nawiasie musi być równy zero, stąd:
\(\displaystyle{ m+2=0 \Leftrightarrow m=-2}\)

[Tux]

hmm ciekawi mnie czysto matematyczne rozwiązanie, czyli powinno być tak:

\(\displaystyle{ W(x)=x(x^{2}-(m+2)x-5)}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=0}\)
czyli równanie
\(\displaystyle{ x^{2}-(m+2)x-5=0}\) musi mieć dwa pierwiastki stąd założenie

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x _{2}+x _{3}=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -(m+2)^{2}-4*(-5)>0}\)
\(\displaystyle{ -m^{2}-4m-4+20>0}\)
\(\displaystyle{ -m^{2}-4m+16>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=80}\)

i tutaj jest problem...:/

[matshadow]

źle, ma być
\(\displaystyle{ [-(m+2)]^{2}-4*(-5)>0}\)
Bo delta jest definiowana dla funkcji w postaci
\(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\) a nie dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ax^2-bx+c}\)
więc
\(\displaystyle{ [-(m+2)]^{2}-4*(-5)>0\\m^2+4m+24>0}\)
Druga delta wychodzi ujemna, czyli równanie
\(\displaystyle{ x^{2}-(m+2)x-5=0}\) zawsze ma dwa rozwiązania.
Teraz ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_2+x_3=0\\x_2x_3=-5 \Rightarrow x_3=\frac{-5}{x_2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x_2-\frac{5}{x_2}=0 \Leftrightarrow x_2^2=5 \Rightarrow \begin{cases} x_2=\sqrt{5}\\x_3=-\sqrt{5}\end{cases}\vee \begin{cases} x_2=-\sqrt{5}\\x_3=\sqrt{5}\end{cases}}\)